Чтение онлайн

* * *

Способы счета

Исследователи Джон О’Коннор и Эдмунд Фредерик Робертсон считали, что происхождение шестидесятеричной системы должно быть связано со способом счета, который применяли шумеры. Они предположили, что, подобно тому как пальцы рук могут использоваться при счете в десятичной системе, а пальцы рук и ног — при счете в двадцатеричной системе, должен был быть некий способ счета на пальцах, который положил начало шестидесятеричной системе счисления. Если указывать большим пальцем правой руки на каждую из трех фаланг других пальцев правой руки, можно легко сосчитать до 12. Для больших чисел нужно поднимать палец левой, свободной, руки после каждого обхода фаланг правой руки и так досчитать до 60 (12·5 = 60). Такой способ счета также объясняет, почему для подсчета часов использовалось число 12.

Язык и письменность

Американец Мартин А. Пауэлл-младший предложил новую теорию. Он считал, что шестидесятеричная система счисления возникла как результат взаимодействия языка и письменности. Его гипотеза основана на том, что в основном диалекте шумерского языка часто используются формы слова «двадцать», а в другом диалекте — формы слова «три». Шестидесятеричная система счисления сформировалась при объединении двух диалектов. В пользу этой теории мог бы послужить тот факт, что слово «шестьдесят» («нис») на языке шумеров звучало наподобие «три раза по 20», но это не так. Истинное происхождение этого слова в шумерском языке неизвестно.

Уже несколько веков исследователи пытаются найти истоки шестидесятеричной системы шумеров, но в конечном итоге ни одна из теорий не находит подтверждения в археологических находках. Возможно, будущие открытия помогут нам приподнять завесу тайны над этой загадкой.

Можно было бы предположить, что в вавилонской шестидесятеричной системе счисления использовалось 60 различных символов, подобно тому как в нашей десятичной системе используются 10 разных цифр. Однако это не так. Для записи любого числа вавилоняне использовали всего два символа. В их системе счисления гениально сочетались позиционная и аддитивная системы.

Система счисления называется позиционной, когда значение каждой цифры зависит от места, где она расположена. Например, используемая нами десятичная система является позиционной, так как цифра 2, расположенная на первом месте, считая справа, обозначает две единицы, но если поместить эту цифру на второе место справа, то она будет обозначать уже два десятка.

Система счисления называется аддитивной, когда значение каждого символа не зависит от места, которое он занимает в записи числа. Значение числа получается путем сложения значений отдельных символов.

Аддитивная система счисления

Счет от 1 до 9 в вавилонской системе был очень прост: вавилоняне рисовали одну палочку, две палочки и так далее. Здесь их система имеет признаки аддитивной. Хотя обычно палочки рисовались на определенных местах, все они имели одинаковое значение. Каждая палочка означала единицу. Так как цифры записывались палочками на глиняных табличках, то вертикальные палочки имели клиновидную форму. Они соединялись между собой и располагались симметрично, как показано на рисунке.

Для числа 10 вавилоняне использовали другой символ: повернутый раскрытый клин. Таким образом десятки и единицы накапливались до 59. Следовательно, система по-прежнему обладала свойствами аддитивности: одни символы всегда означали 1, другие — 10.

Знаки вавилонской шестидесятеричной системы счисления.

Позиционная система счисления

Начиная с числа 60 вавилонская система является позиционной. Чтобы представить число 60, во втором разряде, считая справа, рисовали палочку. Поэтому вавилонская система счисления и называется шестидесятеричной: палочка во втором разряде означает 60. Таким способом можно легко сосчитать до 3 600. Например, 72 записывается так: 

. Считая справа, два вертикальных клина означают 1, горизонтальный — 10, другой вертикальный клинышек — 60. Получим 60 + 10 + 2 = 72.

Трудности начинаются, когда мы хотим записать число 62: на первом месте записываются две вертикальные палочки, на втором месте — еще один вертикальный клин. Нужно записать палочки очень аккуратно, чтобы не перепутать 62 (

) и 3 (). Более того, если мы нарисуем всего одну палочку, как определить, что она означает: 1 или 60? Иногда это невозможно. В то время не существовало нуля, поэтому при чтении такой клинописи легко ошибиться. Но если числа записаны не в тексте, а в виде таблицы, то намного проще определить, какое место занимает каждый символ. Но и в этом случае нужно быть внимательным и предполагать, что писец не совершал ошибок.

Рассмотрим на примере, как можно перевести из шестидесятеричной системы в десятичную следующее число:

Сначала прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Получим 20–11-1-23.

Затем вычислим десятичное значение этого числа. Справа записаны 23 единицы, 1 во втором разряде означает 60, 11 в третьем разряде нужно взять шестьдесят раз по шестьдесят (иными словами, умножить на 602) и, наконец, 20 в четвертом разряде нужно умножить на шестьдесят, умноженное на шестьдесят, умноженное на шестьдесят (то есть на 603). Так мы получим десятичное число:

20·603  + 11·602 + 1·60 + 23 = 4 359 683.

Десятичные числа

Подобно тому как в шестидесятеричной системе не использовался нуль, в ней также не существовало и десятичной запятой (разделителя). Поэтому понять, где должна находиться запятая, можно было только из контекста. В качестве примера переведем шестидесятеричное число 

в десятичную систему, предполагая, что исходное число меньше единицы. Сначала, как и в первом примере, прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Мы получим 10—2—11 (обратите внимание, что в исходном числе 10 и 2 разделены между собой).

Затем вычислим десятичное значение этого числа. В левом разряде находится 10, равное десяти шестидесятым частям единицы (то есть 10/60). 2 в следующем разряде означает одну шестидесятую от шестидесятой части единицы (то есть 2/602).

Ив третьем разряде нужно умножить на одну шестидесятую одной шестидесятой от одной шестидесятой части единицы (то есть 11/603). Получим десятичное число:

10/60 + 2/602 + 11/603 = 0,167273…

Исследователи шли тем же путем, когда пытались разгадать значение чисел на табличке Плимптон 322. Сначала они пронумеровали столбцы и тщательно перевели все цифры в арабскую нотацию.

Таблица чисел с исходной таблички в системе по основанию 60, записанных в арабской нотации.

Для всех табличек в этой главе курсивом (в левом верхнем углу) выделены трудночитаемые числа, жирным шрифтом — предположительно ошибочные значения. Ниже приведены эти же числа, переведенные в десятичную систему по методу, описанному выше.