Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
C
d^2
dz^2
–
d^2
dz^2
.
(8)
Кинетическая энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде
T
=
1
2
(^2+^2+^2)
+
C
d^2
dz^2
–
d^2
dz^2
,
(9)
где - плотность среды.
827. Составляющие X и Y приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по x, можно показать, что
d^2
dz^2
dx
dy
dz
=
d^3
dz^2dt
dx
dy
dz
.
Следовательно,
dT
d
C
d^3
dz^2dt
.
Таким образом, выражения для сил следующие:
X
=
d^2
dt^2
–
2C
d^3
dz^2dt
,
(10)
Y
=
d^2
dt^2
+
2C
d^3
dz^2dt
.
(11)
Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:
X
=
A
d^2
dz^2
+
A
d
dz
+ и т.д.,
(12)
Y
=
A
d^2
dz^2
+
A
d
dz
+ и т.д.
.
(13)
828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого
=
r cos(nt-qt)
,
=
r sin(nt-qt)
,
(14)
мы найдём для кинетической энергии в единице объёма
T
=
1
2
r^2
n^2
–
C
r^2
q^2
n
(15)
и для потенциальной энергии в единице объёма
V
=
1
2
r^2
(
Aq^2
+
Aq
+…
)
=
1
2
Q
,
(16)
где Q является функцией q^2.
Условие свободного распространения луча, данное уравнением (6) в п. 819, следующее:
dT
dr
=
dV
dr
,
(17)
что даёт
n^2
–
2C
q^2
n
=
Q
,
(18)
откуда можно найти величину n как функцию q.
Но в случае луча с заданным волновым периодом, на который действует магнитная сила, мы должны определить величину dq/d при постоянном n, выраженную через dq/dn при постоянном . Дифференцируем (18):
(
2n
–
2C
q^2
)
dn
–
dQ
dq
+
4C
qn
dq
–
2C
q^2n
d
=
0.
(19)
Таким образом, находим
dq
d
=-
Cq^2n
n-Cq^2
dq
dn
.
(20)
829. Если - длина волны в воздухе, v - скорость распространения в воздухе, а i - соответствующий показатель преломления в среде, то
q
=
2i
,
n
=
2v
.
(21)
Изменение значения q, обусловленное магнитным действием, в каждом случае составляет чрезвычайно малую часть от его собственного значения, так что мы можем записать
q
=
q
+
dq
d
,
(22)
где q - значение q при равной нулю магнитной силе. Угол , на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении слоя среды толщиной c, равен полусумме положительного и отрицательного значений qc, причём знак результата меняется, поскольку в уравнениях (14) знак q отрицательный. Таким образом, мы получаем
=-
c
dq
d
,
(23)
=
4^2C
c
i^2
i-
di
1
.
v
^2
d
1-2C
i^2
v
(24)
Второй член в знаменателе этой дроби примерно равен углу поворота плоскости поляризации при прохождении через слой среды с толщиной, равной половине длины волны, делённой на . Следовательно, во всех реальных случаях это величина, которой мы можем пренебречь по сравнению с единицей.
Записав
4^2C
v
=
m
,
(25)
мы можем назвать m коэффициентом магнитного вращения среды, величина которого должна быть определена из наблюдения. Обнаружено, что он положителен для большинства диамагнитных и отрицателен для некоторых парамагнитных сред. Мы имеем, таким образом, в качестве конечного результата нашей теории
=
mc
i^2
^2
i-
di
d
,
(26)
где - угол поворота плоскости поляризации, m - константа, определяемая наблюдением среды, - интенсивность составляющей магнитной силы в направлении луча, c - длина луча в пределах среды, - длина волны света в воздухе, i - показатель преломления среды.
830. Единственная проверка, которой к настоящему времени подвергнута эта теория, состоит в сравнении значений для различных типов света, проходящих через одну и ту же среду и находящихся под действием одной и той же магнитной силы.