Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
+
v'
dr
ds'
+
dr
dt
,
(26)
где r/t относится к движению электрических частиц, а dr/dt - к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий vv', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий v, от которого зависит электродвижущая сила, равен
2v
dr
ds
dr
dt
.
Дифференцируя (26) по t, мы находим
^2r
t^2
=
v^2
d^2r
ds^2
+
2vv'
d^2r
dsds'
+
v'^2
d^2r
ds'^2
+
dv
dt
dr
ds
+
dv'
dt
dr
ds'
+
+
v
dv
ds
dr
ds
+
v'
dv'
ds
dr
ds'
+
2v
d
ds
dr
dt
+
2v'
d
ds'
dr
dt
+
d^2r
dt^2
.
(27)
Мы находим, что член, включающий vv', - тот же самый, что и раньше в уравнении (6). Члены, которые меняют знак с изменением знака v, есть
dv
dt
dr
ds
и
2v
d
ds
dr
dt
.
859. Если мы теперь вычислим по формуле Гаусса (уравнение (18)) результирующую электрическую силу в направлении второго элемента ds', возникающую из-за действия первого элемента ds, мы получим
1
r^2
ds
ds'
iV
x
x
(
2cos
Vds
–
2cos
Vr
cos
rds
)
cos
rds'
.
(28)
Поскольку в этом выражении нет члена, включающего скорость изменения тока i, и поскольку мы знаем, что изменение первичного тока производит индуцированное действие на вторичный контур, мы не можем принять формулу Гаусса в качестве правильного выражения для действия между электрическими частицами.
860. Если, однако, мы используем формулу Вебера (19), мы получим
1
r^2
ds
ds'
r
dr
ds
di
dt
+
2ir
d
ds
dr
dt
–
dr
ds
dr
dt
dr
ds'
,
(29)
или
d
dt
i
r
dr
ds
dr
ds'
ds
ds'
+
i
r
d^2r
dsdt
dr
ds'
–
d^2r
ds'dt
dr
ds
ds
ds'
.
(30)
Если мы проинтегрируем это выражение по s и по s', мы получим для электродвижущей силы во втором контуре
d
dt
i
1
r
dr
ds
dr
ds'
ds
ds'
+
i
1
r
d^2r
dsdt
dr
ds'
–
d^2r
ds'dt
dr
ds
ds
ds'
.
(31)
Далее, если первый контур замкнут,
d^2r
dsds'
ds
=
0.
Следовательно,
1
r
dr
ds
dr
ds'
ds
=
1
r
dr
ds
dr
ds'
+
d^2r
dsds'
ds
=-
cos
r
ds
.
(32)
Но
cos
r
ds
ds'
=
M
(33)
согласно п. 423, 524.
Поскольку второй член в уравнении (31) исчезает, когда оба контура замкнуты, мы можем записать для электродвижущей силы во втором контуре
–
d
dt
(iM)
,
(34)
что согласуется с тем, что мы уже установили экспериментально (п. 539).
О формуле Вебера, рассматриваемой как следствие передачи с постоянной скоростью действия от одной электрической частицы к другой
861. В очень интересном письме к В. Веберу 8 Гаусс ссылается на электродинамические рассуждения, которыми он занимался очень давно и которые опубликовал бы, если бы смог затем установить то, что он считал краеугольным камнем электродинамики, а именно вывод силы, действующей между движущимися электрическими частицами, рассматривая не мгновенное действие между ними, а считая, что оно распространяется во времени подобно свету. Ему не удалось сделать такой вывод, когда он оставил свои электродинамические исследования, но у него была личная убеждённость, что в первую очередь было бы необходимо составить последовательное представление о том, каким способом происходит распространение.
8 March 19, 1845, Werke, Bd. V, 629.
Три выдающихся математика попытались заложить этот краеугольный камень электродинамики.
862. В мемуаре, представленном королевскому обществу Гёттингена в 1858 г., но взятом обратно и опубликованном только после смерти автора в 1867 г. в «Поггендорфовых учёных записках» (Poggendorf’s Annalen), Бернард Риман выводит явления индукции электрических токов из модифицированной формы уравнения Пуассона: