Удовольствие от X.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Сравните эту картину с аналогичной картиной для нечетных чисел.
Здесь лестница идеально правильная, следуя линии с наклоном 1/2 — потому что интервал между соседними нечетными числами всегда равен 2.
Есть ли хоть какая-нибудь надежда найти что-нибудь подобное для простых чисел, несмотря на их блуждающий характер? Как это ни удивительно, есть. Ключ к разгадке в том, чтобы сосредоточиться на общей форме линии, а не на отдельных ступенях лестницы. Если мы уменьшим масштаб, из всей этой кажущейся неразберихи начнет вырисовываться кривая. Посмотрите на график функции нахождения всех простых чисел до 100.
Теперь мы меньше отвлекаемся на отдельные ступеньки. Кривая выглядит еще ровнее, если сосчитать все простые числа до миллиарда.
В противоположность первому впечатлению эта кривая не является прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб означает, что простые числа становятся более редкими, изолированными и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одиночество простых чисел».
Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на данные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять простых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел является целым, что составляет стабильные 33 %. Однако среди первой сотни чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из четырех, составляя уже 25 %, что вызывает беспокойство. А среди первого миллиарда чисел простых всего лишь 5 %.
И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похожи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но почти целиком растворяются в обычных целых числах.
Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой наклоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натуральному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)
Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между простыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффективность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка формулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или примерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен равняться ln(1000) 6,9, что превышает реальное значение примерно на 17 %. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 соответственно, и разность между ними будет примерно 5 %.
Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как теорема простых чисел [145] . Она впервые была записана (но не опубликована) Карлом Гауссом [146] в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. (Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игровой приставки?)
Что же касается других молодых людей, о которых шла речь в этой главе, Маттиа и Аличе, то, я надеюсь, вы оценили, насколько это захватывающе, что два простых числа-близнеца [147] продолжают существовать в самых далеких пространствах числовой прямой, «в этом молчаливом измеренном пространстве, состоящем только их цифр». Против них ополчилась целая армия нечетных чисел. Согласно теореме простых чисел, любое отдельно взятое простое число, находящееся вблизи N, не имеет права ожидать, что его потенциальный друг приблизится к нему ближе чем на lnN и пропасть между ними намного превышает 2, если N — большое число.
145
Помимо указанных выше книг Дербишира, Рокмора и Дю Сотоя, в интернете можно найти множество источников о теореме простых чисел, например страницу Chris K. Caldwell How many primes are there? , страницу MathWorld Prime number theorem и страницу «Википедии» Prime number theorem .
146
История о том, как Гаусс в возрасте пятнадцати лет доказал теорему о простых числах, рассказана в книге Derbyshire, Prime Obsession, а также в работе L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 80, № 6 (1973), рр. 599–615. Гауссу удалось не столько доказать теорему, сколько угадать ее благодаря наблюдениям за таблицами простых чисел, которые он вычислил вручную для собственного развлечения. Первое доказательство теоремы было опубликовано Жаком Адамаром и Шарлем де ля Валле Пуссеном в 1896 году, примерно век спустя, причем каждый из них работал над ней независимо.
147
Как могут существовать простые числа-близнецы при большом N, если рассматривать их в свете теории простых чисел? Согласно теореме, lnN — это всего лишь средний промежуток. Однако он может колебаться, а поскольку существует бесконечное множество простых чисел, некоторым из них удается преодолеть ограничение и создать счастливую пару. Другими словами, даже если большинство простых чисел не обнаружат другие простые числа среди своих соседей намного ближе, чем на расстоянии lnN, все же некоторым это удастся.
Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.
В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.
Подробнее о простых числах-близнецах см.http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.
Но все-таки некоторые пары побеждают нечетные числа. Компьютеры нашли простые числа-близнецы в невероятно отдаленных областях числовой прямой. Где-то вдали уютно устроилась самая большая известная пара двух чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных цифр.
Согласно гипотезе о простых числах, подобные пары будут появляться всегда.
Так не попробовать ли нам поискать поблизости от этих чисел еще какую-нибудь парочку простых чисел [148] , чтобы сообразить с ними на четверых? Удачных поисков!
148
Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.
В любом случае метафора о загадочных парах простых чисел-близнецов не осталась незамеченной в Голливуде. Вы можете посмотреть фильм под названием The Mirror Has Two Faces («У зеркала два лица»), в котором снимаются Барбра Стрейзанд и Джефф Бриджес. Он красивый, но не приспособленный к жизни в обществе профессор математики. Она профессор на кафедре английской литературы, смелая, энергичная, но привязанная к дому женщина (или, по крайней мере, таковой кажется), живущая вместе с матерью и неуравновешенной сестрой. В конце концов этим двум профессорам удается встретиться. Но когда их разговор за ужином заходит о танцах (что ему совсем не нравится), мужчина внезапно меняет тему и рассказывает о простых числах-близнецах. Она мгновенно понимает его мысль и спрашивает: «Что случится, если досчитать до миллиона? Там еще останутся такие пары?» Он почти падает со стула, восклицая: «Не могу поверить, что вы думали об этом! Именно это предстоит доказать в гипотезе о простых числах». Далее по фильму их отношения развиваются, и на день рождения она дарит ему пару запонок, на которых изображены простые числа.
26. Групповое мышление
Мы с женой спим совершенно по-разному, и это видно по нашему матрасу. Она подминает под себя подушки, всю ночь ворочается, и матрас под ней практически не вдавлен. А я сплю на спине, в позе мумии, отчего на моей стороне кровати образуется впадина.
Производители кроватей рекомендуют периодически переворачивать матрас, вероятно, имея в виду таких людей, как я. Но как это лучше сделать? Как именно его надо переворачивать, чтобы он изнашивался максимально равномерно?
Брайан Хэйес изучает эту проблему на небольшом опыте, который описывает в книге Group Theory in the Bedroom («Теория групп в спальне»). Отбросим двусмысленности, поскольку «группа», о которой пойдет речь, представляет собой совокупность математических действий, то есть всех возможных способов переворачивания или разворачивания матраса, чтобы он при этом точно совпадал с каркасом кровати.
Надеюсь, подробное рассмотрение математики матраса [149] позволит вам получить более общее представление о теории групп [150] , одном из самых многогранных разделов математики. Эта теория лежит в основе всего — от хореографии народного танца и фундаментальных законов физики элементарных частиц до мозаики Альгамбры с ее хаотичными элементами [151] , показанными на этой картинке.
149
Группа матраса известна в математике как четверная группа Клейна. Это одно из самых простых и гигантских скоплений возможностей. На протяжении почти 200 лет математики занимаются анализом групп и классификацией их структур. Захватывающее исследование теории групп и последние попытки классификации всех конечных простых групп см. M. du Sautoy, Symmetry (Harper, 2008).
Прим. ред.: В качестве введения в теорию групп рекомендуем: Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972; Богопольский О.В. Введение в теорию групп. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002; Артамонов В. А., Словохотов Ю. Л. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. М.: Изд. центр «Академия», 2005.
150
Эта глава навеяна двумя недавно вышедшими книгами. N. Carter, Visual Group Theory (Mathematical Association of America, 2009) и B. Hayes, Group Theory in the Bedroom (Hill and Wang, 2008). Картер интересно и живописно рассказывает об основах теории групп. Он повествует о том, как она связана с кубиком Рубика, танцами, кристаллами, химией, искусством и архитектурой.
Читателям, которых заинтересует определение «группы», следует обратиться к авторитетным онлайн-справочникам или обычным учебникам. Для начала можно посоветовать страницу MathWorldили страницу «Википедии». В этой главе я больше внимания уделил группам симметрии, чем другим группам.
151
Майкл Филд и Мартин Голубицкий изучали взаимосвязи между теорией групп и нелинейной динамикой. В ходе исследования они создали на компьютере потрясающие графические изображения симметрии хаоса. О математике в искусстве и науке см. M. Field and M. Golubitsky, Symmetry in Chaos, 2nd edition (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009).
Как видно из этих примеров, теория групп — это связующее звено между искусством и наукой. Она обращается к тому, что является общим для этих двух областей — неизменному очарованию симметрии. Охватывая столь широкий круг явлений, теория групп неизбежно будет абстрактной. Она вскрывает саму сущность симметрии.
Обычно считается, что симметрия — свойство формы. Однако специалистов в области теории групп больше интересует, что можно сделать с формой, в частности все способы ее изменения, оставив при этом без изменений что-то другое. Точнее, они занимаются поиском всех преобразований, в результате которых форма остается неизменной при соблюдении ряда ограничений. Эти преобразования называются симметриями формы. Вместе взятые, они составляют группу, то есть совокупность изменений, чьи отношения определяют основную архитектуру формы.
В случае с матрасом преобразования приводят к изменению его положения в пространстве (в этом состоит изменение), однако при этом сохраняется его упругость (в этом состоит ограничение). В результате матрас должен идеально ложиться на каркас кровати (то, что остается неизменным). Взяв за основу перечисленные правила, рассмотрим, какие преобразования свойственны элементам этой замечательной маленькой группы. Оказывается, их всего четыре.
Первое состоит в том, чтобы ничего не делать, — отличный выбор для лентяев, предпочитающих не трогать матрас. Несомненно, такое преобразование удовлетворяет всем правилам, однако вряд ли продлит жизнь матраса. Тем не менее чрезвычайно важно включить его в группу. Оно играет в теории групп такую же роль, как 0 в сложении чисел и 1 в умножении. Математики называют его нейтральным (или единичным) элементом, я обозначу его символом I.