В погоне за красотой
Шрифт:
Гарантии, что где-то в дальнейшем не встретится логическое противоречие, не было.
И все остальные годы Лобачевский настойчиво пытается найти это доказательство.
Он стремится строго показать: его система безупречна. И по пути он разрабатывает самые разные, самые неожиданные следствия своей геометрии, все более и более углубляется в ее дебри.
Здесь он, вне всяких сомнений, выше своих соперников. Ни Бояи, ни Гаусс не прошли того пути, что проделал он.
Доказательства он не нашел. Хотя и был довольно близок к основной идее.
Но с чисто человеческой стороны его настойчивый, неизменный, подчиненный единственной цели труд вызывает чувство восхищения.
Глава 10
Новые идеи — Риман. Итог — непротиворечивость
Будь я склонен к рекламе, я начал бы с того, что в этой главе речь пойдет о поразительных по своей красоте вещах.
Но вместо этого я честно уведомляю читателей, что по крайней мере первая половина этой главы — довольно сухая математика.
Итак, сначала о теории поверхностей.
Прародителем ее был все тот же Гаусс. Чтобы сохранить все же какую-то видимость популярного рассказа, сформулируем интересующие нас вопросы так.
Пусть на какой-то прихотливо изогнутой поверхности обитают некие разумные двумерные существа. Какова будет их геометрия, во-первых? Как смогут они (если смогут) заметить, что их поверхность искривлена, во-вторых?
Вероятно, второй вопрос на первый взгляд представляется совершенно наивным. И возможно, читателям сразу вспоминаются доказательства шарообразности Земли, приводимые в учебниках географии для четвертого класса. Но если чуть-чуть внимательней подумать о доказательствах этого сорта, становится ясно: в них используется тот факт, что мы — трехмерные существа, живущие на двумерной поверхности.
И чтобы иллюзия наивности исчезла, достаточно задуматься: как можно обнаружить, искривлен ли наш трехмерный мир, а также что вообще означает эта столь часто употребляемая фраза?
Но о трех- и четырехмерном мире — чуть позже, а пока вернемся к поверхностям.
Гаусс начал с того, что ввел замечательную величину, определяющую геометрию поверхности. Это гауссова кривизна.
Прежде всего анонсируем важнейшее свойство гауссовой кривизны.
Гауссова кривизна остается постоянной при любом изгибании поверхности, если только не происходит растяжения.
Что именно означает отсутствие растяжения, интуитивно ясно, а строго это формулируется так: если при изгибе поверхности отсутствует растяжение, то, во-первых, остаются неизменны длины любых кривых, проведенных на поверхности, а во-вторых, углы между ними.
Это же самое можно сформулировать несколько по-другому. Возьмите лист бумаги. Изогните его. И измерьте в какой-нибудь точке гауссову кривизну. Теперь можно проделывать с этим листком все, что угодно (только не растягивать и не рвать!), изгибать самым прихотливым образом. Значение гауссовой кривизны в данной точке не изменится.
Чтобы очень важное для нас понятие гауссовой кривизны определить более строго, придется выяснить, что такое радиусы кривизны в данной точке поверхности.
Рассмотрим какую-нибудь точку поверхности и проведем к ней нормаль.
Теперь, очевидно, нужно сказать, что такое нормаль. Для этого понадобится еще одно дополнительное понятие — касательная плоскость. Приведем почти строгое определение. Рассмотрим все возможные кривые линии, расположенные на поверхности и проходящие через точку P.
Оказывается, что касательные ко всем этим кривым лежат в одной плоскости. Сразу это не видно, но может быть строго доказано. Все множество касательных и образует касательную плоскость.
Для случая, показанного на верхнем рисунке на странице 205 , довольно очевидно, как будет расположена касательная плоскость. Но иногда касательная плоскость располагается более хитро относительно поверхности (см. рис. на стр. 202 ).
Теперь строго определим понятие нормали. Нормаль — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости.
После этого можно приступить к определению понятия главных радиусов кривизны. Проведем через нормаль какую-либо плоскость.
Ясно, что их можно провести бесконечное число. Но мы выберем для начала любую. При пересечении плоскости и поверхности образуется плоская кривая.
Всегда можно подобрать такую окружность, которая очень хорошо прилегает к этой кривой вблизи точки P. Точный смысл этих слов объяснять не будем, понадеявшись, что интуиция подскажет нужный образ.
Радиус этой прилегающей (соприкасающейся) окружности R называется радиусом кривизны плоской кривой. Так как через нормаль можно провести бесчисленное множество плоскостей, то мы получим бесчисленное число радиусов кривизны. Среди них есть наибольший и наименьший по абсолютной величине. Можно доказать, что плоские кривые, которым соответствуют наименьший и наибольший радиусы, взаимно перпендикулярны в точке P. Эти два радиуса, R1 и R2, и называются главными радиусами кривизны нашей поверхности в точке P.
Можно также доказать, что центры окружностей всегда расположены на нормали.
Если центры кривизны лежат по одну сторону от поверхности, точка P называется эллиптической. Если по разные — гиперболической. В этом случае один из главных радиусов следует считать отрицательным.
Наконец, есть еще и параболические точки. Это точки, где один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Гауссова кривизна в любой точке поверхности определяется так:
K = 1/R1R2.
Теперь можно составить табличку:
В эллиптической точке K > 0
В гиперболической точке K < 0
В параболической точке K = 0
Посмотрим, какими свойствами может обладать поверхность в целом. Представим какую-нибудь поверхность и попробуем покрыть ее плотно прилегающим куском материи.
Условия игры таковы. Нашу материю (естественно, первоначально это был плоский кусок) нельзя: