Чтение онлайн

Куммер, обнаружив пробел в работах Коши и Ламе, установил, что трудностей при доказательстве Великой теоремы Ферма удается избежать, если показатель n равен нерегулярному простому числу (при n, не превышающих числа 100, нерегулярны только простые числа 37, 59 и 67). В то же время, Куммер показал, что теоретически все случаи с нерегулярными значениями показателя n могут быть рассмотрены индивидуально. Единственная проблема заключается лишь в том, что каждый случай требует огромного объема вычислений. Сколь велик объем вычислений наглядно демонстрирует то, что Куммер и его коллега Дмитрий Мириманов потратили три недели, чтобы выполнить все вычисления для трех нерегулярных простых чисел, не превышающих числа 100. Но ни они, ни другие математики не были готовы к тому, чтобы приступить к вычислениям для следующей группы нерегулярных простых чисел в интервале от 100 до 1000.

Через несколько десятилетий проблемы, связанные с огромным объемом вычислений, стали существенно более доступными. С появлением компьютера большому объему вычислений, связанных с доказательством Великой теоремы Ферма, стало возможно противопоставить быстродействие вычислительных машин. И после второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1000, а позже до 10000. В 80-е годы Сэмюэль С. Вагстафф из университета Пурду поднял предел до 25 000, а совсем недавно математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов.

И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т. д. до бесконечности. Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания чисел с помощью компьютера.

Дэвид Лодж в своей книге «Странствия в картинках» приводит красочное описание вечности, имеющее отношение к аналогичному понятию бесконечности: «Представьте себе стальной шар размером со Вселенную и муху, которая садится на него раз в миллион лет. Когда этот стальной шар обратится в пыль от трения, вечность еще даже не начнется». Тем не менее, результаты, полученные с помощью компьютеров, свидетельствовали в пользу Великой теоремы Ферма. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что этих результатов предостаточно, но сколько бы ни было данных, любое их количество не могло удовлетворить математиков — сборище скептиков, которые не признают ничего, кроме абсолютного доказательства. Экстраполяция теории на бесконечное множество чисел, опирающаяся на результаты, полученные для конечного количества чисел, — игра рискованная (и неприемлемая).

Насколько опасна такая экстраполяция с конечного множества на бесконечное показывает одна последовательность простых чисел. В XVIII веке математики доказали, что все следующие числа простые:

31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331.

Следующие числа становились все б'oльшими гигантами, и проверка их на простоту потребовала бы значительных усилий. Некоторые математики поддались искушению выдать замеченную закономерность за правило и предположили, что все числа указанного вида простые. Но уже следующее число 333 333 331 оказалось составным: 333 333 331 = 17·19 607 843.

Другим хорошим примером, показывающим почему не следует доверять только результатам компьютерных расчетов, может служить гипотеза Эйлера. Эйлер предположил, что уравнение

аналогичное уравнению Ферма, не имеет ненулевых решений в целых числах. На протяжении двух столетий никому не удавалось доказать гипотезу Эйлера, как, впрочем, и опровергнуть ее контрпримером. Ни первые вычисления вручную, ни долгие годы просеивания чисел с помощью компьютеров не позволили обнаружить ни одного решения. Отсутствие контрпримера воспринималось как убедительное свидетельство в пользу гипотезы Эйлера. Но в 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел следующее решение:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 187 9604 = 20 615 6734. [15]

Несмотря на все «подкрепляющие» данные гипотеза Эйлера оказалась ложной. В действительности Элькис доказал, что это уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах. Мораль ясна: нельзя использовать результаты, полученные для первого миллиона целых чисел, как обоснование гипотезы относительно всех целых чисел.

Но обманчивый характер гипотезы Эйлера — ничто по сравнению с гипотезой о завышенной оценке количества простых чисел. Рассматривая все б'oльшие и б'oльшие целые числа, мы убеждаемся, что найти среди них простые числа становится все труднее. Например, между 0 и 100 расположены 25 простых чисел, тогда как между 10 000 000 и 10 000 100 — только 2 простых числа. В 1791 году Карл Гаусс, которому было тогда всего лишь четырнадцать лет, сформулировал приближенный закон, по которому уменьшается частота простых чисел. Формула Гаусса давала разумную точность, но всегда слегка завышала истинное распределение простых чисел. Проверка на простых числах до миллиона, миллиарда или триллиона показала, что гипотеза Гаусса излишне щедра, и математики испытывали сильнейшее искушение считать, что так будет и для всех чисел до бесконечности. Так родилась гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.

В 1914 году Дж. И. Литлвуд, сотрудник Г.Г. Харди по Кембриджскому университету доказал, что для очень больших чисел формула Гаусса даст заниженную оценку распределения простых чисел. В 1955 году С. Скьюз показал, что недооценка количества простых чисел может наступить прежде, чем будет достигнуто число

Это число невозможно даже представить, и никаких практических приложений оно не имеет. Харди назвал число Скьюза «самым большим числом, которое когда-либо служило какой-нибудь цели в математике». Харди подсчитал, что если бы кто-нибудь вздумал сыграть в шахматы со всеми частицами во Вселенной (а их 1087; под ходом в такой игре следовало бы понимать перестановку любых двух частиц), то число возможных партий оказалось бы приближенно равно числу Скьюза.

Не существует причин, по которым Великая теорема Ферма не могла бы оказаться столь же обманчивой, как гипотеза Эйлера или гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.

В 1975 году Эндрю Уайлс поступил в аспирантуру Кембриджского университета. В ближайшие три года ему предстояло работать над диссертацией на соискание ученой степени Рh.D. (доктора философии) и за это время как бы пройти свое послушание математика-подмастерья. У каждого аспиранта имеется свой руководитель и наставник. У Уайлса им был австралиец Джон Коутс, профессор из колледжа Эммануэля, живший у себя на родине в городке Посум Браш в Новом Южном Уэльсе.

Коутс хорошо помнит, как он принял Уайлса: «Помню, что коллега сообщил мне о своем очень сильном студенте, который только что сдал последнюю часть экзаменов по математике и настоятельно рекомендовал мне взять его в аспирантуру. К счастью, я знал Эндрю еще в бытность его студентом. Еще тогда у него были очень глубокие идеи, и было ясно, что он математик с большим будущим. Разумеется, в то время не было и речи о том, чтобы какой-нибудь аспирант работал непосредственно над доказательством Великой теоремы Ферма. Она слишком трудна и для более опытного математика».

В последнее десятилетие все, что делал Уайлс, было направлено на подготовку к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным. Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты. «Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то, чтобы я забыл о теореме — она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы, которыми мы пытались доказать ее, существовали уже около 130 лет. По-видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы. Работая над доказательством теоремы Ферма, вы могли потратить годы и остаться ни с чем. Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня. Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема».