Чтение онлайн

– Если, - сказал, подумав, Илюша, - мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту "бесконечно удаленную" прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.

– Видишь, ты и сам замечаешь, что наши "прямые" этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее.

Однако если спросить, сколько "прямых", не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой, то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши "прямые" подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.

– 291 -

Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, "прямую".

< image l:href="#"/>

Две "прямые" могут пересекаться только в одной точке.

– Как же это так получается?
– спросил удивленный Илюша.

– Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом "бесконечно удаленных" точек нашей геометрии. Если дана "прямая" АВ, то есть полуокружность с центром в точке С "бесконечно удаленной" линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество "прямых", не пересекающихся с "прямой"

АВ, слегка смещая центр из точки С по горизонтали и соответственно изменяя радиус.

– Хорошо, - сказал Илюша, - это я теперь понимаю.

А какие же "прямые", проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к "прямой" АВ?

– Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть "расходящиеся" с данной, "прямые" от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут "прямые", изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на "бесконечно удаленной" прямой.

То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь "прямой" АС, то легко убедишься, что они будут "расходящимися".

– 292 -

Прямоугольный треугольник ABC.

– Так, - сказал Илюша.
– Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?

– Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.

Через точку М проведено несколько "прямых", не пересекающих "прямую" АВ.

– 293 -

"Прямая" АВ параллельна АВ, в сторону А; "прямая" А"В" параллельна АВ в сторону В. "Прямые", проходящие внутри углов АМА" и ВМВ", "расходятся" с АВ. "Прямые", проходящие внутри углов АМВ" и ВМА", пересекают АВ.

– Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам!
– воскликнул Илюша.
– Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу...

Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.

Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.

Два перпендикуляра - АВ и CD - к одной "прямой" "расходятся" - угол параллельности φ острый

– 294 -

– Ты только попробуй!
– произнес Фавн шепотом.
– Никогда никто не кушал ничего вкуснее!

– Может быть, это и стыдно, - сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, - но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.

– Стыдного тут ничего нет, - отвечал Асимптотос.
– Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой - это уже совсем другое дело.

– Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам. геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея...

Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам.

– То есть сферическую, - заметил Копикос.
– Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:

Вот пройдут любые тени По стене,

Странных очерки видений При огне...

Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.

– 295 -

В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.

Асимптотос притащил откуда-то лампочку очень странной и красивой формы, немножко похожую на чайник, в носик которого был вставлен фитиль. Лампа горела не очень ярко, но все-таки светила. В ней было налито нечто вроде оливкового масла. Говорят, будто это была та самая лампа, из-за которой начались несчастья бедной Душеньки в той самой поэме Богдановича, которую так любил юный Пушкин, потому что Aпyлей (сочинивший книгу "Золотой осел", где изложена история Душеньки) ему нравился гораздо больше рассудительного Цицерона [20] . Масло для этой лампы Коникос зачерпнул из фонтана. Затем Коникос сделал какой-то странный жест, и в светлице стемнело. Только и было света, что от масляной лампы.