Введение в логику и научный метод
Шрифт:
ab + c = ( a + c ) ( b + c ).
В первой строчке выражен аналог хорошо известного свойства обычных чисел. Во второй же вводится значимое различие между предлагаемой алгеброй и ее обычным (вычислительным) видом.
7. Принцип тавтологии :
aa = a ,
a + a = a .
Эти два принципа заключают в себе радикальное различие между обычной (вычислительной) алгеброй и той, что предлагается здесь.
8. Принцип поглощения :
a + ab = a ,
a ( a + b ) = a .
9. Принцип упрощения :
ab < a,
a < a + b .
Из последних двух принципов следует, что нуль-класс включен в любой класс (0 < а) и что любой класс включен в универсум (а < 1). Чтобы наглядно в этом убедиться, нужно всего лишь допустить, что Ь = 0 в первом выражении и что Ь = 1 во втором выражении.
10. Принцип композиции :
[( a < b ) . ( c < d )] ( ac bd )
[( a < b ) . ( c < d )] [( a + c ) < ( b + d )].
Здесь мы, как обычно, используем символ «» для обозначения отношения импликации и точку («.») для обозначения совместного утверждения обоих суждений. Первое выражение читается так: «Если а включен в b и с включен в d , то логическое произведение а и с включено в логическое произведение b и d .
11. Принцип силлогизма :
[( a < b ) . ( b < c )] ( a < c ).
Если а включен в Ь и Ь включен в с, то а включен в с. Отношение «включен в» тем самым задается как транзитивное.
Выражение традиционных категорических суждений
Теперь выразим символически каждый из четырех видов категорических суждений.
Суждение «все а суть b» может быть выражено как «(а < b)». Более того, можно показать, что эта запись эквивалентна записи «(аb = 0)». Поэтому мы получаем: «(а <
) (
= 0)».
Суждение «ни один а не есть b» эквивалентно суждению «все а суть не-». Следовательно, символически эта запись может быть выражена как «(a <
)». Однако данное выражение эквивалентно выражению «(ab = 0)», так что можно получить и следующую запись: «(a <
) (ab = 0)».
Частные суждения противоречат общим, и поэтому в них отрицается то, что утверждается в общих. Поэтому в суждении «некоторые а суть Ь» отрицается то, что ни один а не есть Ь (символически: a <
). Это обстоятельство может быть выражено как «(a <
)'» или как «(ab /= 0).
Суждение «некоторые а не суть b» должно противоречить суждению (а < b). Следовательно, его можно выразить как «(a < b)'» или как «(
/= 0)».
Каждая из этих четырех символических форм должна быть знакома читателю по проведенному ранее анализу категорических суждений.
Доказательство теоремы де Моргана В рамках данной книги мы не можем развить исчисление классов, с тем чтобы показать его огромные возможности. Однако мы хотели бы проиллюстрировать природу доказательства в этом исчислении, предложив демонстрацию теоремы де Моргана применительно к классам.
Нам нужно найти дополнение к классу (a + Ь).
В силу принципа исключенного третьего a +
= 1 и Ь +
= 1. Также, согласно принципу упрощения, 1x1 = 1 и (а +
) (Ь +
) = 1. Используя принципы дистрибуции и ассоциации, вышесказанное можно записать так: (ab +
+
) + (
) = 1.
Теперь рассмотрим классы (ab +
+
) и (
). Они исчерпывают универсум, поскольку их сумма равняется 1; они также являются взаимоисключающими, поскольку их произведение равняется 0. Поэтому любой из них является дополнением другого.
Однако, согласно принципу тавтологии, ab +
+
= ab +
+
+ ab. Правая часть, по принципу дистрибуции, равна а (Ь +
) + Ь (а +
) = а + Ь. Следовательно, поскольку (
) является дополнением к (ab +
+
), который, в свою очередь, равен (а + Ь), то, значит, (
) также равен и (а + Ь).