Чтение онлайн

Какова вероятность того, что орел выпадет два раза, если бросить монету тоже два раза? Это событие является сложным, а его компоненты – это орел при первом броске и орел при втором. Если данные события независимы, и если вероятность выпадения орла в каждом случае равна равна 1/2 то, согласно исчислению вероятности, вероятность совместного появления событий (выпадения орла при двух бросках) является произведением вероятности выпадения орла при каждом из бросков, т. е. 1/2 x 1/2 или 1/4 Мы сможем увидеть, почему данный результат является необходимым следствием сделанных допущений, если пронумеруем все события, являющиеся возможными при двух бросках монеты. Так, мы получаем: ОО, ОР, РО, РР , где порядок букв в каждой из групп обозначает одну возможную последовательность выпадения орла и решки. Таким образом, получается, что при сделанных допущениях имеется 4 равновероятные возможности и только одна, ОО , является благоприятной. Следовательно, согласно полученному результату, вероятность выпадения двух орлов равна 1/4 . Вообще, если а и Ь являются двумя независимыми событиями, то Р ( а ) – вероятность первого события, Р ( b ) – вероятность второго, а вероятность их совместного наличия – Р ( ab ) = Р ( а ) x Р ( b ).

При вычислении вероятности сложных событий необходимо проявлять внимание к тому, чтобы перечислить все возможные альтернативы. Если нам нужно установить вероятность выпадения по меньшей мере 1 орла при двух бросках монеты, то перечисление альтернатив дает 3 благоприятных события. Следовательно, вероятность получения по меньшей мере 1 орла равна 3/4 Видные ученые допускали ошибки вследствие того, что не учитывали все возможные альтернативы. Например, согласно Д'Аламберу, вероятность выпадения по меньшей мере одного орла равна 2/3 О н перечислил возможные события как О, ОР, РР , утверждая, что если орел выпадет с первого раза, то нет необходимости продолжать броски, с тем чтобы получить, по крайней мере, одного орла. Однако данный анализ ошибочен, поскольку перечисленные им возможные события не являются равновероятными: первая альтернатива заключает в себе возможность двух различных событий, являющихся равновероятными с остальными.

Вероятность совместного появления двух событий иногда может высчитываться, даже если события не являются полностью независимыми. Допустим, в урне находится 3 белых и 2 черных шара, и предположим, что вероятность извлечения каждого из шаров одинакова по сравнению с остальными. Какова вероятность извлечения 2 белых шаров один за другим при первых двух попытках, если шары не заменяются при второй попытке? Изначально вероятность извлечения белого шара равна 3/5 Если извлечен белый шар (и при этом не заменен новым), то в урне остается два белых и два черных шара. Вероятность извлечения второго белого шара, если первый извлеченный шар был белым , равна 2/4. Из этого следует, что вероятность извлечения двух белых шаров при описанных условиях равна 3/5 x 1/2 или же 3/10 [48] . Вообще Р ( а ) является вероятностью события а , а Ра(Ь) является вероятностью появления события Ь при появлении события а. Вероятность совместного появления событий: Р(аЬ) = Р(а) х Ра(Ь).

Иногда нам требуется не вероятность совместного появления событий, а вероятность того, что произойдет одно из событий. Для этих целей мы вводим строго дизъюнктивные, или взаимоисключающие, события. Два события являются взаимоисключающими, если оба не могут произойти одновременно (если происходит одно, то другое отсутствует). При бросании монеты такие события, как выпадение орла или решки, считаются взаимоисключающими. Можно доказать, что вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, является суммой вероятностей каждого из событий. Какова вероятность получения 2 орлов или 2 решек при двух бросках монеты при допущении того, что вероятность выпадения орла равна 1/2 и что броски осуществляются независимо? Вероятность выпадения двух орлов является произведением вероятностей выпадения орла при первом броске и орла при втором броске, т. е. 1/4 Сходным образом вероятность выпадения двух решек равна 1/4 Следовательно, вероятность выпадения либо двух орлов, либо двух решек равна 1/4 + 1/4 т. е. 1/2 Тот же результат получается при непосредственном применении определения вероятности к четырем возможным событиям: ОО, ОР, РО, РР . Два из перечисленных событий являются благоприятными. Следовательно, искомая вероятность равна 2/4 или 1/2 Вообще, если Р ( а ) и Р ( b ) являются возможностями двух взаимоисключающих событий соответственно, то вероятность получения одного из двух событий равна Р ( а + b ) = Р ( а ) + Р ( b ).

Две данные теоремы (теорема умножения для независимых событий и теорема сложения для взаимоисключающих событий) являются фундаментальными теоремами исчисления вероятности. С помощью самих этих теорем, а также с помощью их расширений можно с легкостью разрешить и более сложные проблемы. Предположим, что мы по одному разу извлекаем шары из двух урн. При этом в первой содержится 8 белых и 2 черных шара, а во второй —6 белых и 4 черных шара. Извлечение любого из шаров считается равновероятным. Какова вероятность того, что, когда мы извлечем по одному шару из каждой урны, по меньшей мере один из них будет белым? Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 8/10, а из второй урны —6/10. Возникает соблазн сложить эти дроби, с тем чтобы получить вероятность извлечения белого шара из любой из двух урн. Однако такой шаг будет ошибочным. О твет будет больше 1, что абсурдно. И действительно, в данном случае мы не можем просто складывать, поскольку данные события не являются взаимоисключающими. Однако мы можем получить нужный результат следующим образом: вероятность неизвлечения белого шара (т. е. извлечения черного шара) из первой урны равна 2/10; а вероятность неизвлечения белого шара из второй урны равна 4/10. Следовательно, предполагая, что извлечения осуществляются независимо, вероятность неизвлечения белого шара ни из первой, ни из второй урны равна 2/10 x 4/10, т. е. 8/100. Следовательно, поскольку мы должны либо не извлечь ни одного белого шара из двух урн, либо извлечь хотя бы один, то вероятность извлечения по меньшей мере одного шара равна 1–8/100, или 92/100.

Какова вероятность выпадения 3 орлов при 5 бросках монеты при допущении, что орлы и решки равновероятны и что все броски являются независимыми? При решении данной задачи мы познакомимся еще с одной важной формулой исчисления вероятности. Возможно, мы начали бы рассуждать так: поскольку подбрасываются 5 монет, то вероятность выпадения орла на каждой из них равна 1/2 а искомая вероятность 1/2 x 1/2 x 1/2 или 1/ Однако нам нужно выпадение трех орлов, и, следовательно, две другие монеты должны выпасть решкой, вероятность чего равна 1/2 x 1/2 или 1/4 из этого мы можем заключить, что вероятность выпадения лишь 3 орлов (т. е. 3 орлов и 2 решек) равна 1/8 x 1/4 или 1/32 Однако данный ответ будет неверным. В его неправильности можно будет легко убедиться, если выписать все возможные способы, которыми могли бы выпасть 5 монет, а затем непосредственно применить определение вероятности к этим равновероятным альтернативам.

Возможные альтернативы таковы:

Имеется 32 равновероятные возможности, из которых 10 являются благоприятными. Вероятность выпадения 3 орлов и 2 решек равна 10/32, что в десять раз больше, чем результат, полученный неверным методом.

Теперь мы можем понять, почему изначально предложенный метод был неверным. В нем не учитывались различные варианты упорядочивания, по которым могли выпасть 3 орла и 2 решки. Следовательно, нам требуется способ оценки числа различных вариантов упорядочивания, которые можно изобразить с помощью 5 буквенных знаков, 3 из которых будут представлять одну букву, а 2 – другую. Читателям, знакомым с законами комбинаторики, будет несложно осуществить подобную оценку. Тем же, кто не знаком с этой областью арифметики, не следует отчаиваться, поскольку существует очень простая формула, позволяющая легко получать нужный результат. Число возможных событий для каждой категории сложного события (т. е. 1 для 5 орлов и 0 решек, 5 для 4 орлов и 1 решки и т. д.) является ничем иным, как соответствующим коэффициентом в разложении двучлена

(а + Ь)5 = а5 + 5 а4Ь + 10 а3Ь2 + 10 а2Ъ3 + 5 аЬ4 + Ь5.

Таким образом, можно строго доказать, что если р является вероятностью события, a q является вероятностью его единственной взаимоисключающей альтернативы, то вероятность комплексного события, количество компонентов которого равно п, получается посредством выбора соответствующего термина при разложении двучлена (р + q)n . Разложение данного двучлена может быть осуществлено довольно просто:

Рассмотрим еще одну иллюстрацию формулы двучлена. Урна содержит 2 белых шара и 1 красный. Нам нужно 4 раза извлечь шар из урны, при том что мы каждый раз будем заменять извлеченный шар на такой же. Мы можем полагать, что все шары равновероятны относительно возможности быть извлеченными и что содержимое урны тщательно перемешивается после каждого извлечения, так что все извлечения независимы. Какова вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного? Вероятность извлечения белого шара: р = 2/з, а красного: q = 1/3 . Чтобы получить нужный ответ, нам следует лишь разложить двучлен:

(р + q)4 = р4 + 4p3q + 6p2q2 + 4 pq3 + q4,

а затем подставить указанные нумерические значения в термин, который представляет вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного. Данным термином является 4p3q , а искомая вероятность равна 4 х ( 2/3 )3 х ( 1/3 ) или 32/81.

Проведенное краткое рассмотрение исчисления вероятности не исчерпывает все интересные теоремы, содержащиеся в данной теме. Однако нам следует вернуться к обсуждению логики вероятностного вывода. Повторим еще раз сформулированное нами предупреждение. Математическая теория вероятности исследует необходимые следствия наших предположений о множестве альтернативных возможностей и не может сообщить нам вероятность какого-либо конкретного события. Возникают естественные вопросы: как в таком случае устанавливается вероятность конкретных событий, при каких обстоятельствах используются теоремы исчисления вероятности?

Анализ вероятностного вывода, проведенный нами в начале данной главы, не представляет обычной интерпретации этой проблематики. Вероятность того или иного события, как правило, отождествлялась с силой верования в то, что событие произойдет. Согласно де Моргану, вероятность означает «психическое состояние относительно некоторого утверждения, приближающегося события или любого другого обстоятельства, в отношении которого невозможно абсолютное знание». Выражение «это скорее является вероятным, чем невероятным», согласно его позиции, означает «я верю в то, что это случится, больше, чем я верю в то, что этого не случится» [49] . Всезнающее существо никогда не прибегнет к вероятностному выводу, поскольку оно будет достоверно знать истинность или ложность любого суждения. Те же существа, которые не обладают всезнанием, вынуждены опираться на вероятностный вывод, поскольку их знание является неполным и вероятность является мерой их неполного знания. Когда мы в целом уверены, что событие произойдет, то его вероятность равна 1; когда наша вера в его невозможность является подавляющей, то вероятность такого события равна 0; когда же наша вера находится между уверенностью в том, что событие произойдет, и уверенностью в том, что оно не произойдет, то вероятность выражается некоторой дробью, величина которой меньше 1 и больше 0.