Чтение онлайн

Примем общую гипотезу о порядке. Если так, то основной проблемой становится отыскание частного порядка. Так, каждый отдельный закон или формула, которые мы будем вводить, будут во многом зависеть от имеющегося у нас ранее знания и степени нашей осведомленности с математическими последовательностями. На основании данной осведомленности может быть усмотрена связь между появляющейся цифрой и порядковым номером извлечения. Разумеется, можно сформулировать и другие виды связи; можно предположить, что существует связь между извлекаемыми цифрами и временем их извлечения. Любой, кто знаком с алгеброй, сможет предложить несколько формул, выражающих подобный тип связи. Так, в качестве закона последовательности появления цифр мы можем предложить формулу y 1 = 3 n , где n – порядковый номер извлечения, а y 1 – извлекаемая цифра. Когда n = 1, y 1 = 3; а когда n = 2, y 1 = 9. Данная гипотеза полностью учитывает все известные факты.

Однако мы знаем и другие гипотезы, которые также могут полностью учитывать все известные факты. Такими гипотезами могут быть формулы: y 2 = 6 n – 3; y 3 = /( n 2 + n ); y 4 = 2 n 2 + 1; и y 5 = n 3/3 + 11 n /3 – 1. Несложно показать, что может быть обнаружено бесконечное число различных выражений, выполняющих эту же функцию. Все остальные гипотезы мы можем отбросить без рассмотрения, только если считаем, что обладаем определенным релевантным знанием, на основании которого рассматриваем только эти пять.

Однако являются ли данные пять формул в равной степени «удовлетворительными»? Если бы обнаружение порядка между уже извлеченными цифрами было бы условием, накладываемым на гипотезу, то, действительно, нельзя было бы отыскать причину, по которой одна из этих формул была бы более предпочтительной, чем другая. Но мы стремимся к тому, чтобы наши законы или формулы были на самом деле универсальными, т. е. выражающими неизменные отношения, существующие между цифрами. Поэтому предпочтительной гипотезой будет та, которая позволит предсказывать то, что еще не произошло, и из которой мы сможем вывести то, что уже случилось ранее, даже если бы об этом ничего не знали на момент формулировки гипотезы. Таким образом, мы можем высчитать, что если одна из этих пяти формул является универсально применимой, то при третьем извлечении мы получим: «27» – если истинна первая, «15» – если истинна вторая, «18» – если третья, «19» – если четвертая и «19» – если истинна пятая.

Крайне важно сформулировать гипотезу и ее следствия до попытки ее верифицировать, ибо, во-первых, если мы изначально не сформулировали гипотезу, то даже не знаем, что именно мы пытаемся верифицировать. Во-вторых, если мы намеренно выбираем гипотезу так, чтобы она подтверждалась набором определенных фактов, то это еще не дает нам гарантии в том, что она будет подтверждена и другими фактами, помимо рассмотренных. В таком случае нельзя сказать, что мы обезопасили себя от ошибочного отбора и что проведенная нами «верификация» является проверкой выбранной гипотезы. Логическая функция предсказания заключается в том, чтобы позволить провести подлинную верификацию наших гипотез посредством указания на факты, которые ее подтвердят, до непосредственного момента проверки.

Таким образом, если случится так, что третьей извлеченной цифрой окажется «19», то первые три формулы будут элиминированы. Оставшимся двум формулам придется пройти проверку при еще большем количестве данных опыта. Тем не менее, мы не можем быть уверенными в том, что эти формулы являются единственными, способными описывать последовательность появления цифр.

Становится очевидным, что функция верификации заключается в том, чтобы обеспечить удовлетворительные основания для элиминации некоторых или всех из рассматриваемых нами гипотез. Предположим, что у нас осталось две формулы: у4 и у5. Мы допустили, что каждая из них успешно предсказала третью цифру. Однако, согласно нашим требованиям, гипотеза должна предсказывать не только результат третьего извлечения, но и результаты всех последующих извлечений. Если гипотеза выражает универсальную связь, то она должна поддерживать себя и не элиминироваться ни при какой возможной попытке верификации. Однако часто случается так, что остается более чем одна гипотеза даже после определенного конечного числа верификаций, как это, например, имеет место в нашей ситуации. Тогда мы не можем утверждать одну из таких гипотез и исключать другие. Мы можем, однако, попробовать элиминировать все релевантные альтернативы посредством повторения процесса верификации до тех пор, пока не получим какую-либо одну гипотезу. Именно стремление к достижению такого идеала руководит нашим исследованием, однако достигнуть его удается крайне редко, если вообще удается. На самом же деле мы можем считать, что нам повезло, если гипотезы, изначально рассматривавшиеся нами как релевантные, не элиминировались в ходе исследования.

Гипотеза должна быть сформулирована таким образом, чтобы ее материальные следствия были проявлены. Данное требование означает, что гипотеза должна быть доступна верификации. Может оказаться, что в момент разработки гипотезу нельзя проверить непосредственным образом в силу практических или технических сложностей. С момента выведения предсказываемого следствия до его непосредственного наступления может потребоваться длительный период времени. Так, для проверки одного из следствий теории относительности требовалось полное затмение солнца. Однако, несмотря на то что истинность гипотезы, в которой утверждаются универсальные связи, невозможно доказать, она, тем не менее, должна быть доступна верификации, даже такую верификацию нельзя провести сразу. Как мы уже сказали, следствия гипотезы должны формулироваться в терминах определенных эмпирических операций.

Из этого следует, что гипотезу нельзя считать адекватной, если в ней не проводится явного или скрытого отграничения устанавливаемого в ней порядка связи. Гипотеза должна быть опровержимой, если она устанавливает один порядок связи, а не другой.

Рассмотрим суждение «все люди смертны», которое является гипотезой относительно поведения людей. Является ли данная формулировка удовлетворительной? Если мы найдем человека, которому будет двести лет, то поставит ли это под сомнение универсальность смертности людей? Разумеется, стороннику теории о том, что все люди смертны, вовсе не нужно будет сомневаться в своей теории. Но что если бы мы отыскали человека, возраст которого равнялся бы возрасту струльдбруга? [59] Сторонник теории смертности все равно мог бы утверждать, что его гипотеза вполне сочетается с существованием такого человека. Несложно заметить, что, будучи сформулированной таким образом, данную гипотезу нельзя будет опровергнуть, сколько лет бы ни было человеку, которого мы могли бы представить в качестве ее опровержения. Для того чтобы гипотеза обрела удовлетворительную форму, ее следует модифицировать так, чтобы обусловить возможность экспериментальной детерминации между этой гипотезой и какой-либо противоположной ей альтернативной гипотезой.

Если гипотеза обладает верифицируемыми следствиями, то она не может претендовать на то, что предлагаемое в ней объяснение будет удовлетворительным, что бы ни случилось. Доступные наблюдению следствия в случае истинности гипотезы не могут быть теми же самыми, что и верифицируемые следствия противоположной ей гипотезы. В нашем примере корректной модификацией гипотезы будет ее переформулировка в следующем виде: «Все люди умирают прежде, чем наступает их двухсотый день рождения». При такой формулировке гипотеза будет опровергнута при обнаружении человека, которому будет пятьсот лет.

Многие из теорий, имеющих широкую популярность, не отвечают установленным нами условиям. Так, теория, согласно которой, что бы ни случилось, все является действием Провидения или волей бессознательной самости, является неудовлетворительной с точки зрения, которую мы выработали. Эту теорию нельзя считать верифицированной, если после того как нечто случилось, мы интерпретируем это нечто как следствие Провидения или бессознательного. На самом деле данная теория столь плохо сформулирована, что мы не можем даже установить ее логические следствия и, следовательно, природу ожидаемых событий. Данная теория не позволяет нам предсказывать. Она не является верифицируемой. В этой теории не проводится различия между самой этой теорией и любой внешне противоположной ей теорией, например, теорией, согласно которой все, что происходит, является случайным.

4. Необходимо рассмотреть еще одно условие для того, чтобы гипотеза была удовлетворительной. В нашем искусственном примере мы обнаружили, что после третьего извлечения осталось две гипотезы. Каким образом осуществляется выбор между ними? В данном случае вопрос представляется несложным. Поскольку при n = 4 формула у4 предсказывает цифру, отличную от цифры, предсказываемой формулой у5, то выбор между гипотезами можно осуществить при четвертом извлечении. Но как осуществить выбор, если мы имеем дело с двумя гипотезами, у которых все следствия, которые мы можем верифицировать, являются одинаковыми?

Нам следует различать два типа случаев, когда подобное может произойти. Предположим, в первом случае два исследователя пытаются установить природу замкнутой кривой линии, следы которой они обнаружили на определенном участке земли. Один утверждает, что эта кривая такова, что каждая точка, лежащая на ней, равноудалена от определенной точки вне кривой. Другой исследователь утверждает, что кривая такова, что площадь внутри нее является самой большой из всех площадей, которые можно охватить линией такой длины. Можно показать, что все логические следствия первой гипотезы совпадают с логическими следствиями второй гипотезы. Обе эти гипотезы, на самом деле, не различаются в логическом смысле. Если же два исследователя начнут спорить по поводу своих теорий, то этот спор будет либо о словах, либо об их эстетических предпочтениях относительно различных формулировок по сути одной и той же теории.