Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.
Шрифт:
Разрешение этого парадокса состоит в том, что принцип эквивалентности утверждает всего лишь возможность локальной замены гравитации ускорением. В разных местах пространства ускорение, заменяющее гравитацию согласно принципу эквивалентности, будет в общем случае иметь разное направление. Ответ на вопрос о китайско-американских отношениях состоит в том, что американская гравитация эквивалентна ускорению в направлении, отличном от направления ускорения, эквивалентного китайской гравитации.
Эта решающая идея привела Эйнштейна к полной переформулировке теории тяготения. Он уже более не рассматривал гравитацию как силу, действующую непосредственно на тело. Вместо этого он описал ее как искажение геометрии пространства-времени, отражающее различные ускорения, необходимые для того, чтобы свести на нет гравитацию в разных местах. Пространство-время является уже не фоном события, а его активным участником. Благодаря общей теории относительности Эйнштейна сила тяготения понимается на языке кривизны пространства-времени, которая, в свою очередь, определяется имеющейся в наличии материей и энергией. Рассмотрим понятие кривизны пространства-времени, на котором основана революционная теория Эйнштейна.
Математическая теория должна быть внутренне самосогласованной, но, в отличие от научной теории, она не обязана соответствовать внешней физической реальности. Действительно, математики часто черпают вдохновение из того, что они видят в окружающем мире. Такие математические объекты, как кубы или натуральные числа, имеют свои аналоги в реальном мире. Однако математики расширяют предположения об этих знакомых понятиях на объекты, чья физическая реальность менее очевидна, например, на тессеракты (гиперкубы в четырехмерном пространстве) и кватернионы (экзотическая система чисел).
В третьем веке до н. э. Евклид сформулировал пять основных постулатов геометрии. Из этих предположений развилась красивая логическая структура, с которой вы, возможно, соприкоснулись в старших классах школы. Однако позднее математики стали проявлять беспокойство в отношении пятого постулата, известного как постулат о параллельных. Этот постулат утверждает, что если заданы прямая и точка вне этой прямой, то существует одна и только одна прямая, которую можно провести через заданную точку параллельно заданной прямой.
В течение двух тысячелетий после того, как Евклид сформулировал свои постулаты, математики спорили о том, является ли пятый постулат действительно независимым, или он может быть логическим следствием остальных четырех. Может ли существовать система геометрии, в которой были бы верны все постулаты, кроме последнего? Если такой системы геометрии не существует, пятый постулат не может быть независимым, и должен поэтому выводиться.
Только в девятнадцатом веке математики поставили пятый постулат на должное место. Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс обнаружил, что пятый постулат Евклида был тем самым, что утверждал Евклид, — постулатом, который мог быть заменен другим. Гаусс продвинулся вперед и сделал эту замену, открыв другие системы геометрии и демонстрируя таким образом, что пятый постулат независим. Так родилась неевклидова геометрия.
Русский математик Николай Иванович Лобачевский также развивал неевклидову геометрию, но когда он послал свою работу Гауссу, ему пришлось испытать разочарование, узнав, что старый математик за пятьдесят лет до этого пришел к тем же идеям. Однако ни Лобачевский, ни кто-либо другой не знали о результатах Гаусса, которые немецкий ученый скрыл из опасения, что коллеги подвергнут его осмеянию.
Гауссу не следовало беспокоиться. Очевидно, что пятый постулат не всегда верен, так как все мы знаем альтернативные возможности. Например, линии долготы встречаются на Северном полюсе и на Южном полюсе, даже несмотря на то, что они параллельны на экваторе. Примером неевклидовой геометрии является геометрия на сфере. Если бы древние народы писали на сферах, а не на табличках, этот пример был бы для них совершенно очевиден.
Однако существует много примеров неевклидовых геометрий, которые в противоположность сфере не могут быть физически реализованы в трехмерном мире. Первые неевклидовы геометрии Гаусса, Лобачевского и венгерского математика Яноша Больяи [44] имели дело с такими не имеющими наглядного образа теориями, поэтому неудивительно, что для их открытия понадобилось столько времени.
Несколько примеров показывают, что делает искривленные геометрии отличными от плоской геометрии данной страницы. На рис. 38 показаны три двумерные поверхности. Первая, поверхность сферы, обладает постоянной положительной кривизной. Вторая, кусок плоскости, имеет нулевую кривизну. Третья, гиперболический параболоид, обладает постоянной отрицательной кривизной. Примерами поверхностей с отрицательной кривизной являются лошадиное седло, местность между двумя горными вершинами и картофельные чипсы «Прингле».
44
Янош Больяи был гением, но хотя его отец, Фаркаш Больяи, хотел, чтобы сын стал математиком, Янош был беден и пошел в армию, а не в академию. Окружающие с самого начала препятствовали работе Яноша по неевклидовой геометрии, и он в конце концов опубликовал ее только потому, что отец настаивал на включении этой работы в книгу, которую он писал. Фар-каш, который был другом Гаусса, послал ему написанное Яношем дополнение. И вновь Яноша постигло разочарование. Хотя Гаусс отметил талант Яноша Больяи, он всего лишь написал: «Хвалить эту работу — значит во многом хвалить себя самого. Дело в том, что все содержание работы… почти полностью совпадает с моими собственными размышлениями, занимавшими мой мозг последние тридцать или тридцать пять лет» (письмо Гаусса к Фаркашу Больяи, 1832). Так что математическая карьера Яноша была еще раз разрушена.
Существует много безошибочных показателей, с помощью которых можно узнать, каким из трех возможных типов кривизны обладает данное геометрическое пространство. Например, на каждой из трех поверхностей можно нарисовать треугольник. На плоской поверхности сумма углов треугольника всегда равна ровно 180°. Но что можно сказать о треугольнике на поверхности сферы, одна вершина которого находится на Северном полюсе, а две остальные — на экваторе, на четверти расстояния вдоль экватора друг от друга? Каждый из углов этого треугольника равен прямому углу 90°. Поэтому сумма углов треугольника равна 270°. Такого никогда не может быть на плоской поверхности, но на поверхности с положительной кривизной сумма углов треугольника может превышать 180°, так как сама поверхность выпятилась наружу.
Аналогично, сумма углов треугольника, нарисованного на гиперболическом параболоиде, всегда меньше 180°, что отражает отрицательность кривизны этой поверхности. Увидеть это несколько сложнее. Нарисуйте две вершины вблизи вершины седла и одну внизу, в той части гиперболического параболоида, где должна находиться ваша нога, когда вы сидите на лошади. Такой угол меньше того, который получился бы, если бы поверхность была плоской. Сумма углов оказывается меньше 180°.
Как только было установлено, что неевклидовы геометрии внутренне непротиворечивы, т. е. не приводят к парадоксам и противоречиям, немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман развил богатую математическую теорию для их описания. Кусок бумаги нельзя свернуть в сферу, но можно свернуть в цилиндр. Вы не можете разгладить седло без разрывов или налезания частей друг на друга. Основываясь на работе Гаусса, Риман создал математический формализм, включающий подобные факты. В 1854 году он нашел общее решение задачи о характеристиках всех геометрий с помощью их внутренних свойств. Работы Римана заложили основу современной области математики — дифференциальной геометрии, ветви математики, изучающей поверхности и геометрию.
Так как с этого момента я буду почти всегда рассматривать пространство и время совместно, мы увидим, что, вообще говоря, понятие пространства-времени более полезно, чем понятие пространства. Пространство-время имеет на одно измерение больше, чем пространство: в дополнение к «вверх — вниз», «налево-направо» и «вперед — назад» имеется еще время. В 1908 году математик Герман Минковский использовал геометрические понятия для развития этой идеи об абсолютной пространственно-временной структуре. В то время как Эйнштейн изучал пространство-время, используя временную и пространственные координаты, зависевшие от системы отсчета, Минковский определил независящую от наблюдателя пространственно-временную структуру, которую можно использовать для характеристики данной физической ситуации.