Чтение онлайн

Стремление к большей общности, свойственное новым программам, и повсеместное употребление «множества» как научного термина выражается, например, в том, что геометрическая фигура определяется как «множество точек». А так как в теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая, то слово «равенство» уже не применимо к двум различным треугольникам. Это слово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином «конгруэнтность». Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говорить о двух «конгруэнтных балках» (или закройщик из ателье о «конгруэнтных кусках ткани»), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани).

Выше мы привели неудобоваримое определение вектора. Очень характерный пример того, как относительно простое, интуитивно ясное понятие преподносится педагогически абсурдным способом. А получилось оно у авторов таким ввиду того, что прежнее определение не укладывается в теоретико-множественную концепцию. Ведь вектор не есть «множество». И равенство векторов не есть теоретико-множественное равенство. Потому в современном школьном курсе геометрии вектор и предстал как «параллельный сдвиг пространства», а сложение двух векторов — как «последовательное применение двух параллельных сдвигов». Определения эти не только чрезвычайно сложны — они совершенно не соответствуют общепринятому аппарату физики, механики, всех технических наук.

Так же обстоит дело и с определением функции. Вместо того, чтобы сказать, что функция есть величина «игрек», числовое значение которой можно найти, зная числовое значение независимой переменной «икс», — что в общем виде записывается: y = f (x), — и дать ряд примеров её при помощи формул, функцию определяют, по существу, как отображение одного множества на другое. Делается это, однако, в школьных учебниках куда сложнее: сперва вводится понятие отношения между элементами двух различных множеств, а потом говорится, что при выполнении некоторых условий, наложенных на это отношение, последнее является функцией.

Новые учебники переполнены такого рода громоздкими, сложными, а главное, ненужными определениями. Математическое понятие уравнения стремятся свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушивается понятие уравнения как «предложения с переменной» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин. Алгебра. Учебник для 6-го класса средней школы. М., «Просвещение», 1977, с. 12). Наткнувшись на него, я никак не мог понять, что же это значит. Примеры уже даются в учебнике для четвёртого класса. Так, приводится «предложение»: «Река x впадает в Каспийское море». Далее разъясняют, что если вместо x подставить «Волга», то мы получим правильное утверждение, и, следовательно, «Волга» есть решение этого уравнения. Если же вместо x подставить «Днепр», то получится неверное утверждение, и потому «Днепр» не является решением этого уравнения (см. Н. Я. Виленкин, К. И. Нешков, С. И. Шварцбурд, А. С. Чесноков, А. Д. Семушин. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы. М., «Просвещение», 1979, с. 39).

Какое это имеет отношение к математике? У неё своя специфика, и нет надобности сводить её к грамматическим понятиям. Однако этот факт в высшей степени симптоматичен, если вернуться к тому, что говорилось выше о «философии математики», готовой свести предмет математической теории к манипулированию её «языком» — к «лингвистике».

Чрезмерно абстрактный характер придан преподаванию математики уже в первых классах и уже там мешает освоению её основного предмета — арифметики. Внедрение нарочито усложнённой программы, вредной по своей сути, осуществляется к тому же с помощью недоброкачественных, в ряде случаев просто безграмотно выполненных учебников. Но главный порок, конечно же, в самом ложном принципе — от более совершенного его исполнения школа не выиграет.

А ведь, признаться, неплохим, в общем, был предшествующий опыт школьного обучения, неплохими были и учебники, — не случайно именно к ним обращаются репетиторы, подготавливая сегодня абитуриентов в вузы. Кстати говоря, не отказ ли от того положительного, что было раньше в школьном преподавании, способствовал развитию «чёрного рынка» репетиторства с его спекулятивными ценами — явления возмутительного, несовместимого с нравственными принципами нашего общества.

Такого рода «стихийные бедствия» совершенно не согласуются и с принципами социального управления, которым неукоснительно должна следовать и наша школьная система.

Что же касается более благополучных вариантов учебников, то есть такие — например, по геометрии, написанный академиком А. В. Погореловым (А. В. Погорелов. Геометрия. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1979). Однако создаётся впечатление, что Министерство просвещения СССР не спешит умножить число подобных примеров.

Иногда официальные лица министерства, защищая теоретико-множественный подход как «современный» в школьной педагогике, ссылаются на пример западноевропейских стран: мол, там этот подход вошёл в жизнь, а мы-де отстаём от передового опыта. А между тем Парижская Академия наук, например, ещё в 1972 году обнаружила, что подобная модернизация преподавания математики приводит к появлению неудовлетворительных и ошибочных учебников и методов преподавания, что обучение математике во французских школах не приносит общему образованию той пользы, которой от него следовало бы ожидать.

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лере, выступая в Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критически оценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах, отметив, что преподаватели и учебники там всё с большим трудом передают детям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике, преподаваемой в школах Франции: «Развитие понятия множества в последнее время значительно расширило область применения и силу математических методов, но значит ли это, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основано на этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактате Н. Бурбаки? Ответ может быть только отрицательным... Можно ли строить курс математики для юношества логически на теории множеств, то есть выразить сущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пытались сделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло не привести к катастрофе... Торжество методики, основанной на повторении многословных определений, имеет самые серьёзные социальные последствия. С одной стороны, это отваживает от научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметь взрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимая того, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям как раз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют, не понимая смысла... Извращённая ситуация, в которой оказалось преподавание математических дисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах, возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренние и цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которые использовали их инициативу, например, тех, кто с лёгкостью написал толстые учебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание, то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивной пропагандой... Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенные ошибки. Я прочёл двум, сменившим один другого, министрам национального образования Франции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломить наших детей научными определениями прямой... Они признали, что не понимают сами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкций не отменили».

Приведённые слова невольно порождают желание провести параллельное сравнение с тем, что происходит с математикой в нашей школе. «Современные» учебники по математике, утверждённые Министерством просвещения СССР и миллионными тиражами выпускаемые издательством «Просвещение», напоминают по своему подходу учебники французских авторов, критикуемые Жаном Лере.

В последние годы некоторую часть школьного курса заполнили элементы высшей математики. Поскольку она должна быть рассчитана на всех учеников, а не только на тех, кто собирается впоследствии стать профессиональным математиком, изложение её должно быть достаточно ясным и простым, без лишнего формализма. На деле же оно усложнено, перегружено ненужными фактами и недоступно пониманию школьников. Что же касается элементарной математики, то основные её разделы весьма сокращены, излагаются неполно и не подкреплены достаточным числом примеров и задач. Вот и получилось, что, с одной стороны, школьники оглушены формальным, трудно воспринимаемым материалом, по большей своей части ненужным, а с другой — не получают необходимых навыков в выполнении элементарных арифметических действий и алгебраических преобразований, в решении простейших уравнений и неравенств (в том числе квадратных), обнаруживают слабые знания тригонометрии, не умеют применять алгебру и тригонометрию для решения геометрических задач. В сознании их возникает ложное представление о математике как о чём-то заумном, далёком от реальной действительности и невозможном для освоения многими. Но, по-видимому, ответственных работников системы просвещения не смущает насыщение школьных страниц множеством «формул формального языка».

С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобы прививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемых знаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснение смысла вводимых отвлечённых понятий, трудных для восприятия в силу своей абстрактной постановки, никак не «стыкующихся» с собственным опытом детей и подростков, не способствующих развитию их математического мышления и, главное, ни для кого не нужных. Вот уж где уместно наконец сказать о делении математики на «формальную» и «содержательную», только несколько в ином — увы, более точном — смысле, нежели писал процитированный выше философ. Содержательная часть математики на школьных уроках действительно потеснена сугубо формальной. Академики В. С. Владимиров, А. Н. Тихонов и я в журнале «Математика в школе» (1979, № 3) писали: «Чрезмерный объём и неоправданная сложность изложения программного материала развивают у многих учащихся неверие в свои способности, чувство неполноценности по отношению к математике. Этим отчасти объясняется снижение интереса к естественнонаучным и техническим дисциплинам... Создавшееся положение с преподаванием математики в средней школе требует принятия решительных мер по его исправлению».

В следующем номере того же журнала была опубликована статья академиков Л. В. Канторовича и С. Л. Соболева «Математика в современной школе». В ней авторы, стремясь защитить неудачные новшества, фактически (хотя и с оговорками) вынуждены были признать справедливость аргументов критики, но постарались представить её как «призыв к возврату ставших уже архаичными программ и учебников». Последний вывод смещал плоскость полемики, искажал существо её.

Не могу не процитировать и примечательный в некотором отношении абзац: «Следует сказать, что такие крайние выводы, первоначально высказывавшиеся на бюро Отделения математики, при более подробном ознакомлении с вопросом не были поддержаны на общем собрании Отделения» (подчёркнуто мною. — Л. П.).