Чтение онлайн

§ 3. Что такое сила?

Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую-то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: по­думайте о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что-то действует. А как найти это «что-то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает ра­венство сил действия и противодействия, но об этом более под­робно пойдет речь в следующей главе.

Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действу­ют на тело вблизи поверхности Земли? Это — сила тяжести, на­правленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли R, почти не зави­сящая от высоты; она равна F=GmM/R2=mg, где g=GM/R2— так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело по-прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении бо­лее интересно. По Второму закону Ньютона

После сокращения массы m получаем, что ускорение в направле­нии х постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями

Рассмотрим другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в котором сила прямо пропор­циональна отклонению от положения равновесия и направлена противоположно ему,— это пружина с грузиком.

Фиг. 9.3. Грузик на пружинке.

Действи­тельно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движе­ние: вверх — вниз, вверх — вниз... Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его? Если применить закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:

т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x-компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами измерения, сло­вом, они выбраны так, что klm равно единице. Итак, будем пы­таться решать уравнение

Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое vx; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.

§ 4. Смысл динамических уравнений

Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени t тело находится в точке х и движется со скоростью vx. Каково будет его положе­ние и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент t+e? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом вы­страивается вся картина движения. Для большей определен­ности предположим, что в момент t=0 положение грузика х=1, а его скорость vx=0. Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положения равновесия х=0, действует сила. Если х>0, то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, кото­рая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает воз­растать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени t при очень малом е можно с достаточно хорошей точ­ностью найти положение в момент t+е через скорость и положение в момент t:

x(t+e)=x(t)+ evx(t). (9.13)

Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше e, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал e не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент t+e, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь-то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно -x. Поэтому

vx(t+e)=vx(t)+ eax(t), (9.14)

= vx(t)- ex(t). (9.15)

Уравнение (9.14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из-за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на -х(t). Следовательно, если в какой-то момент времени нам известны положение х и скорость vx, то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический меха­низм! Действующая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения.

§ 5. Численнов решение уравнений

Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допус­тим, что мы взяли e=0,100 сек. (Если после того, как мы про­делаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточ­но мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс e, умноженное на ускорение. А само ускорение равно -х(0)=-1,00. Так что

v(0,1)=0,00+0,10·1,00=-0,10. В момент 0,20 сек

х(0,2)=х(0,1)+ev(0,1)=1,00-0,10·0,10=0,99

и

v(0,2)=v(0,1)+ ea(0,1) =-0,10-0,10·1,00 =-0,20.

Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы до­вольно грубыми, поскольку интервал e=0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой-то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увели­чить точность, используя тот же интервал e=0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.

Заметьте, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени e, умноженный на скорость. Но что это за скорость? В какой момент? В начале интервала одна скорость, а в конце она совсем другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала. Если известна скорость в на­стоящий момент и известно, что она меняется, как же можно надеяться получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с той же скоростью, что и в на­стоящий момент? Более разумно использовать какую-то сред­нюю скорость между началом и концом интервала. Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для под­счета ее изменений нужно использовать ускорение в средней точке между двумя моментами времени, в которых необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем пользовать­ся следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положению в начале плюс интервал e, умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т. е. на отрезок e меньше) плюс ускорение в начале интервала, умно­женное на e.