Чтение онлайн

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t2, или просто производную от 5t2. Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At3+Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку

s+Ds=A(t+Dt)2+В (t+Dt)+С =At3+Bt+С+ЗAt2Dt+ВDt+3At (Dt)2+A(Dt)3

а

s=At3+Bt+C,

то Ds=3At2Dt+BDt+3At(Dt)2+A(Dt)3.

Но нам нужна не сама величина Ds, а отношение Ds/Dt. После деления на Dt получим выражение

Ds/Dt= 3Ats+В+3At(Dt)+A(Dt)3, которое после устремления Dt к нулю превратится в

Ds/Dt=3'At2+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Dt)2 или (Dt)3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Dt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 · некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.

§ 4. Расстояние как интеграл

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4 · скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у свето­фора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v1 , тогда по формуле Ds= v1Dtможно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В ре­зультате мы получим много маленьких отрезков, которые в сум­ме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой ско­ростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = SvDt,где греческая буква S (сигма) означает сумми­рование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые мо­менты времени, скажем ti, умноженные на Dt:

(8.6)

причем каждый последующий момент ti+1находится по пра­вилу ti+1=ti+Dt. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время Dtвсе же изменяет­ся. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы Dt, т. е. разбивать время дви­жения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выра­жению для пройденного пути:

(8.7)

Математики придумали для этого предела, как и для диф­ференциала, специальный символ. Значок D превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в — искаженное большое S, первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

s=v(t)dt, (8.8)

где v(t) — скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противополож­на операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничто­жает» другой . Это дает возможность получать фор­мулы для интегралов путем обращения формул для дифферен­циалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Диф­ференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. вы­ражающаяся через комбинацию известных нам функций, диф­ференцируется очень просто — вся операция выполняется чис­то алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каж­дого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В та­ких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими ин­тервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

§ 5. Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это вве­дение величины, которая связана с изменением скорости дви­жения. Естественно спросить: а как изменяется скорость дви­жения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изме­нения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно под­готовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записы­вается в виде производной от расстояния. Если теперь продиф­ференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падаю­щего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался ре­зультат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту по­стоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела по­стоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным толь­ко потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорциональ­но силе.