Чтение онлайн

В 1900 г. великий немецкий математик Давид Гильберт опубликовал обращение к коллегам, где перечислил 23 проблемы, от решения которых, по его мнению, зависело все будущее развитие этой науки. Основная и принципиальная позиция Гильберта сводилась к тому, что математика должна быть исчерпывающей (т. е. способной ответить на все связанные с ней вопросы) и внутренне согласованной наукой (т. е. в ней не должно быть утверждений, на которые можно одновременно дать и положительный, и отрицательный ответы). Упомянутые Расселом «тривиальные шутки» приводят нас к той же проблеме: можно ли утверждать, что математические рассуждения являются полностью и всегда справедливыми? В математике нет места никаким лжецам-критянам с их двусмысленными загадками, допускающими неоднозначные или странные ответы.

Гильберт выразил эту идею с предельной ясностью и четкостью: каждая конкретная математическая задача должна иметь ясное решение, которое должно содержать либо точный ответ на поставленный вопрос, либо строгое доказательство невозможности получения такого ответа». Иными словами, если несколько аксиом объединены в некую формальную математическую систему, то такая система обязана быть согласованной (в противном случае она теряет логический смысл).

Гильберта, разумеется, весьма беспокоила проблема возникновения «новых», странных геометрий (он включил ее в свой список под вторым номером), однако в целом великий математик был настроен достаточно оптимистично и разделял естественную для большинства людей уверенность в том, что на каждый математический вопрос рано или поздно может и должен быть получен четкий (положительный или отрицательный) ответ, независимо от степени сложности вопроса и связанных с ним разногласий.

Именно это кажущееся почти очевидным утверждение опроверг Гёдель своей так называемой «теоремой о неполноте» в статье под названием «О формально неразрешимых утверждениях Оснований математики и родственных систем». Позднее Пол Хоффман напишет в известной книге «Человек, который любил только числа. Математик Поль Эрдёш» о работе Гёделя следующий комментарий: «По предложенной Рихтером шкале значимости математических открытий Гёдель, безусловно, заслуживает самого высшего, десятого балла!».

Кстати, древнегреческий парадокс об уроженцах Крита (в математике и логике его называют парадоксом лжеца) можно упростить и выразить заявлением «Это утверждение неверно!», которое даже в этой сверхкраткой форме продолжает сохранять неразрешимое внутреннее противоречие. Сам Гёдель слегка изменил классическую фразу, придав ей более изящную и тонкую форму: «Это утверждение недоказуемо!» (если оно доказуемо, то не является истинным, и обратно, и т. д.).

Пользуясь медицинской терминологией, можно сказать, что Гёдель использовал в качестве скальпеля для вскрытия аксиоматики теории множеств так называемое «арифметическое утверждение G» (означающее в переводе на обычный, нематематический язык, что некоторое утверждение является недоказуемым) в сочетании с приемом его отображения. Гёдель перевел G-утверждения на язык арифметики и получил следующий замечательный результат: любая согласованная формальная математическая система, включающая в себя все правила арифметики, содержит в себе математический эквивалент G-утверждения и, следовательно, является несогласованной, т. е. в ней существуют утверждения, которые одновременно невозможно доказать или опровергнуть данным набором правил. Это открытие было сформулировано им в виде двух «теорем о неразрешимости», имеющих следующий вид:

1. Если аксиоматическая теория множеств является согласованной, то в ней существуют теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

2. Не существует конструктивной процедуры, позволяющей доказать согласованность аксиоматической теории множеств.

Естественно, что используемый для доказательства математический аппарат был достаточно сложным, однако полученные результаты были точными и проверяемыми. Более того, Гёдель показал, что если в какую-либо арифметическую систему вводятся некие новые идеи, позволяющие сделать G-утверждения доказуемыми, то в новой, расширенной системе вновь возникнут новые, свои собственные G-утверждения!

Кроме того, Гёдель придал концепции «согласованной арифметической системы» точную математическую форму и показал, что ее нельзя строго обосновать, т. е. каждая такая система будет включать в себя некоторые истинные высказывания, которые не могут быть доказаны, и, следовательно, каждая такая система будет неполной.

Гильберт утверждал, что в его науке нет места неопределенности и «каждая математическая задача может быть решена чисто математическими приемами и рассуждениями… поскольку в математике нет места неясности, ignorabimus». Гёдель доказал, что Гильберт ошибался и ни одна, даже самая сложная математическая система не может быть согласованной. Математика оказалась гораздо сложнее языка, используемого для ее описания, точно так же, как человеческие опыт и жизнь постоянно оказываются более сложными и неоднозначными, чем языки, используемые людьми для их описания.

Один из крупнейших специалистов в теории чисел, Герман Вейль когда-то остроумно заметил, что «…Бог существует, поскольку математика явно непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку мы не можем доказать эту непротиворечивость». Гильберт был даже более последовательным и завещал, чтобы на его могильной плите было написано: «Мы должны знать и мы обретем знание».

Открытие Гёделя стало для абстрактной математики столь же волнующим, необычным и притягательным событием, как формулировка Гейзенбергом принципа неопределенности для квантовых частиц. На жизнь обычных людей это открытие не оказывает почти никакого воздействия хотя бы потому, что человек не способен выделять в речи «неопределенные» утверждения, играющие основную роль в построениях Гёделя, так что их использование остается редким и малоосмысленным в обыденной жизни.(В качестве примера можно привести популярное выражение «Нет правил без исключений». Это утверждение, примененное к самому себе, означает, что должно существовать хотя бы одно «исключительное» правило, не допускающее никаких исключений и т. д. – Прим. перев)

Один плюс один всегда равняется двум, независимо от того, как люди осуществляют эту арифметическую операцию (школьник у доски, ученый с компьютером и т. п.). В этом отношении открытие Гёделя может казаться даже просто ненужным или неуместным, так что неудивительно, что даже многие профессиональные математики, искренне восхищаясь интеллектуальной мощью и концептуальной новизной теорем Гёделя, спокойно относят их скорее к философии, чем к чистой математике. Например, в известной книге «Инструменты разума» {Mind Tools) Руди Ра-кер с иронией пишет, что теоремы о неполноте «…являются частной собственностью узкого круга специалистов по математической логике, многие из которых не допускают и мысли о том, что эти теоремы могут быть как-то связаны с реальным миром».

Впрочем, последнее утверждение можно считать явным преувеличением с тех пор, как в 1963 г. молодой профессор Станфордского университета Пол Коэн сообщил Гёделю, что он нашел доказательство «вечной неразрешимости» нескольких важных математических проблем, среди которых, кстати, была и одна задача из упоминавшегося выше списка 23 проблем великого Гильберта, умершего еще в 1930 году.

Гёдель прожил долгую и очень тяжелую (по обычным представлениям) жизнь. Он продолжал плодотворно работать, но теорема о неполноте так и осталась его самым блестящим достижением. После оккупации Австрии нацистами он перебрался в США, где работал в Принстонском институте перспективных исследований. В 1940 г. он стал гражданином США, устроив при этом бурную полемику о возможности установления диктатуры в Соединенных Штатах. С годами поведение Гёделя становилось все более неадекватным, что некоторые из его знакомых объясняли просто потерей уверенности в творческих способностях. Гёдель избегал общества коллег и знакомых (единственное исключение составлял Эйнштейн, с которым он обычно прогуливался по пути на работу), жил затворником и общался с людьми только по телефону. Иногда у него начинались приступы мании преследования (Гёдель боялся, что его хотят отравить), и тогда Адель приходилось кормить его с ложечки. Так странно завершился жизненный путь великого человека, который всегда считал себя реалистом, а в молодости дерзко пытался доказать существование Бога математически. Когда Адель поместили в профилакторий после операции и Гёдель остался один, он вообще перестал принимать пищу и умер 14 января 1978 г. фактически от голода в возрасте 71 года.

Сам Гёдель наверняка не стал бы считать свою смерть ужасной или бессмысленной, так как всегда был твердо уверен и настойчиво убеждал окружающих, что все процессы в жизни, науке и даже (буквально!) во Вселенной тесно взаимосвязаны и осмыслены. Психологически интересно, что такими философскими взглядами и твердой верой в причинно-следственную связь обладал именно человек, обнаруживший серьезные неопределенности в самых глубинных основах математики. Несмотря на то, что его открытия явно ограничивали границы человеческого познания, Гёдель был убежден в непрерывном росте разума, а кажущуюся бессмысленность обыденной жизни объяснял тем, что она является лишь подготовкой к иным формам существования (впрочем, после его смерти не удалось обнаружить никаких свидетельств целенаправленной подготовки к такому существованию).

Большая часть этой главы посвящена Грегору Менделю, еще одному знаменитому ученому-любителю, чьи работы остались непрочитанными и непонятыми при его жизни, хотя, в отличие от записей Ферма, не содержали в себе никакой загадочности. Мендель сумел в скромном монастырском саду родного города Брно где, кстати, родился и Гёдель, на самых обычных растениях обнаружить важнейшие закономерности, благодаря которым живые организмы передают свои наследственные черты и тем самым сохраняют себя и свое потомство в качестве отдельного биологического вида или, если угодно, в качестве особой формы жизни.