Чтение онлайн

image l:href="#"/>

или

Следовательно, число b

чётно, а это значит (по той же причине, что и прежде), что число b чётно. Таким образом, оба числа a и b чётны и поэтому имеют общий множитель 2, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, наше исходное предположение ложно.

Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение - не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d - длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору( 7 ),

поэтому d не может быть рациональным числом.

Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием "основной теоремы арифметики", гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является "трудным", требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.

Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса - на простые числа

дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа

дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.

Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[ 117 ] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.

Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?

Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача - продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.

Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа - тот сырой материал, из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.

Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу "иррациональных чисел". По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по-видимому, сделал Теэтет[ 118 ]), что числа

иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа

иррациональны( 8 ).

Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата - лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с "естественными" требованиями "здравого смысла"), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса[ 119 ], изложенной в кн. V "Начал" Евклида. В наше время многие математики считают теорию Евдокса прекраснейшим достижением древнегреческой математики. Эта теория поразительно современна по духу и может рассматриваться как предтеча современной теории иррациональных чисел, совершившей переворот в математическом анализе и оказавшей сильное влияние на философию новейшего времени.

Впрочем, в "серьёзности" любой из теорем нет никаких сомнений, и поэтому мы лучше заметим, что ни одна из теорем не имеет ни малейшего "практического" значения. В практических приложениях нас интересуют лишь сравнительно небольшие числа. Только звёздная астрономия и атомная физика оперируют с "большими" числами, но и эти науки, по крайней мере ныне, едва ли имеют большее практическое значение, чем самая абстрактная чистая математика. Я не знаю, какая высшая точность полезна для инженера. Будем щедрыми и предположим, что речь идёт о десяти знаках после запятой. Тогда число 3,14159265 (значение числа ? с точностью восемь знаков после запятой) представимо в виде отношения

двух чисел, соответственно, девяти- и десятизначных. Количество простых чисел, не превышающих 1000000000, составляет 50847478. Этого достаточно для инженера, и он может чувствовать себя вполне счастливым без всего остального. О теореме Евклида сказано достаточно. Что же касается теоремы Пифагора, то ясно, что для инженера иррациональные числа не представляют интереса, так как он имеет дело только с приближёнными значениями различных величин, а все приближённые значения рациональны.

Под "серьёзной" принято понимать теорему, содержащую "значительные" идеи. Мне кажется, что нужно попытаться провести более подробный анализ тех качеств, которые делают математическую идею значительной. Сделать это очень трудно, и маловероятно, что проводимый мной анализ окажется очень ценным. Мы узнаем "значительную" идею, когда нам случается её видеть, как мы узнали значительные идеи в приведённых выше теоремах Евклида и Пифагора, но способность распознать важное требует весьма высокой степени математической мудрости и знания математических идей, которое берётся только от многолетнего пребывания в их компании. Поэтому я всё же попытаюсь проанализировать в какой-то мере "серьёзности" математической идеи и сделать анализ при всей его неадекватности разумным и понятным насколько это возможно. Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддаётся определению легко и просто.