Чтение онлайн

Эти различия между чистой и прикладной математикой важны сами по себе, но не имеют особого отношения к нашему обсуждению "полезности" математики. В §21 я говорил о "настоящей" математике Ферма и других великих математиков - математике, имеющей непреходящую эстетическую ценность, как, например, лучшие образцы древнегреческой математики, математике вечной потому, что её лучшие произведения, подобно лучшим литературным произведениям, продолжают доставлять эмоциональное удовлетворение тысячам людей и поныне, тысячи лет спустя. Творцы этой математики были преимущественно чистыми математиками (хотя в то время различие между чистой и прикладной математикой было значительно менее чётким, чем теперь), но я думал не только о чистых математиках. К "настоящим" математикам я причисляю Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона[ 123 ] и Дирака. Великие современные достижения в области прикладной математики были и в теории относительности, и в квантовой механике, и эти разделы науки, по крайней мере сейчас, почти столь же "бесполезны", как и теория чисел. На добро или на зло работают скучные элементарные разделы прикладной математики, равно как и скучные элементарные разделы чистой математики. Время может коренным образом изменить всё это. Никто не предвидел, что теории матриц и групп, а также другие чисто математические теории найдут применение в современной физике, и вполне может случиться так, что какие-то разделы "высоколобой" математики неожиданно станут "полезными". Но, как показывает накопленный опыт, как в одной области знания, так и в другой, в практической жизни полезно то, что обыденно и скучно.

Я помню Эддингтона, подававшего счастливый пример непривлекательности "полезной" науки. Британская ассоциация проводила заседание в Лидсе, и кому-то пришла в голову мысль, что её членам, возможно, будет интересно послушать о приложениях науки в индустрии обработки шерсти. Но организованные с этой целью лекции и демонстрации потерпели фиаско. Выяснилось, что члены Ассоциации (независимо от того, были ли они жителями Лидса или нет) жаждали развлечений, а индустрия обработки шерсти не была особенно занимательной. Поэтому посещаемость лекций была разочаровывающе низкой. Что же касается лекций о раскопках на Кноссе, теории относительности или теории простых чисел, то они вызвали восторженные отзывы собиравшейся на них аудитории.

Какие разделы математики полезны?

Прежде всего те, что составляют школьную математику: арифметика, элементарная алгебра, элементарная евклидова геометрия, начала дифференциального и интегрального исчисления. Из этого перечня нам придётся исключить некоторое количество того, чему учат "специалистов", например, проективную геометрию. В прикладной математике полезны элементы механики (теорию электричества в том виде, в котором её преподают в школе, следует классифицировать как физику).

Полезна также значительная часть университетской математики, а именно та её часть, которая по существу служит продолжением школьной математики, но с более изощрённым аппаратом, и некоторые физики, такие, как теория электричества и гидромеханика. Следует помнить, что любой запас знаний всегда является преимуществом и что самые практичные математики могут оказаться в серьёзном затруднении, если их знания ограничены голым минимумом, включающим в себя только самое необходимое. Из этих соображений к каждому из перечисленных выше разделов математики необходимо немного добавить. Что же касается нашего общего заключения, то оно сводится к следующему: математика полезна в том объеме, в котором она востребована инженером высшей квалификации или физиком "средней руки", или, иначе говоря, "полезная" математика не отличается особыми эстетическими достоинствами. Например, евклидова геометрия полезна постольку, поскольку она скучна - нам ни к чему аксиомы о параллельных, теория пропорций или построение правильного пятиугольника.

Возникает одно прелюбопытное заключение: чистая математика в целом явно более полезна, чем прикладная. Чистая математика обладает преимуществом перед прикладной математикой и с практической, и с эстетической стороны. Наиболее полезен прежде всего математический аппарат, или математическая техника, а его изучают главным образом при помощи чистой математики.

Надеюсь, нет необходимости особо оговаривать, что я отнюдь не пытаюсь умалить или принизить математическую физику - великолепную научную дисциплину с замечательными проблемами, решение которых даёт широчайший простор самому буйному воображению. Но не заслуживает ли положение обычного прикладного математика небольшого сочувствия? Если он хочет быть полезным, то ему приходится использовать скучные, банальные методы, и он не может дать волю своей фантазии, даже если желает подняться до небывалых высот. "Воображаемые" вселенные намного прекраснее тупо построенной "реальной" вселенной, и большинство прекраснейших плодов фантазии прикладного математика должны быть отвергнуты сразу же после того, как их сотворили, на том жёстком, но достаточном основании, что они не согласуются с фактами.

Общее заключение достаточно понятно. Если под полезным знанием, как мы временно согласились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в сравнительно недалёком будущем, будет способствовать материальному комфорту человечества (т. е. чисто интеллектуальное удовлетворение в расчёт не принимается), то огромная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика - ни одна из этих наук не удовлетворяет критерию полезности намного лучше, чем другая, и нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре?158) прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял.

Против предложенного мной понимания понятия "полезность" можно было бы возразить, указав на то, что я определил его в терминах "счастья" или "комфорта", игнорируя общие "социальные" последствия математики, которым современные авторы с различными пристрастиями и вкусами стали уделять большое внимание. Например, Уайтхед (бывший математиком) толкует об "огромном влиянии математического знания на жизнь людей, их повседневные занятия, организацию общества". Хогбен (не питающий тёплых чувств к тому, что я и другие математики называем математикой и к чему Уайтхед относится вполне положительно) говорит о том, что "без знания математики, грамматики величины и порядка, мы не можем планировать рациональное общество, в котором благосостояние для всех и нищета ни для для кого" (равно как и многие другие авторы).

Не думаю, чтобы всё это красноречие могло особенно успокоить математиков. Язык обоих авторов изобилует чудовищными преувеличениями, и они оба игнорируют весьма очевидные различия. В случае Хогбена это вполне естественно, так как он по всеобщему мнению не математик; под "математикой" он понимает ту математику, которая доступна его разумению, - я называю её "школьной" математикой. Нельзя не признать, что эта математика имеет многочисленные приложения, которые, если угодно, можно было бы назвать "социальными". Хогбен всячески подкреплял их многочисленными интересными экскурсиями в историю математических открытий. Такой прием следует признать удачным, так как он позволяет Хогбену довести до сознания многих читателей его книги, которые не были и никогда не будут математиками, что в математике есть много больше, чем они думали. Вместе с тем Хогбен едва ли понимает, что такое "настоящая" математика (это становится ясно каждому, кто прочитает, что Хогбен пишет о теореме Пифагора, об Евклиде и Эйнштейне), и не питает к ней тёплых чувств (не скрывая этого). "Настоящая" математика для Хогбена - не более чем объект сочувственной жалости.

В случае Уайтхеда трудность заключается не в недостатке понимания или сочувствия: преисполненный энтузиазмом, он забывает об отличительных особенностях математики, которые ему хорошо знакомы. Математика, которая оказывает "огромное влияние" на "повседневные занятия людей" и "организацию обществ", - это математика не Уайтхеда, а Хогбена. Математика, которую можно использовать "для обычных целей обычными людьми", незначительна, а та математика, которую могут использовать экономисты или социологи, вряд ли поднимается до уровня колледжа. Математика Уайтхеда может оказать глубокое влияние на астрономию или физику, значительное - на философию (высокое мышление одного рода всегда с большей вероятностью влияет на высокое мышление другого рода), но на всём остальном сказывается весьма слабо. "Огромное влияние" математика Уайтхеда оказывает не на людей вообще, а на самого Уайтхеда.

Итак, существует две математики. Существует "настоящая" математика "настоящих" математиков и то, что я назвал бы, за отсутствием лучшего слова, "тривиальной" математикой. Существование тривиальной математики можно было бы оправдать ссылкой на Хогбена или других авторов его школы, но для реальной математики, которую надлежит оправдать как искусство, если её вообще можно оправдать, такой апологии не существует. В этой точке зрения, обычно разделяемой математиками, нет ничего парадоксального или необычного.

У нас остался ещё один вопрос, который необходимо рассмотреть. Мы пришли к заключению, что тривиальная математика в целом полезна, а настоящая математика - нет. Однако до сих пор нам неизвестно, не приносит ли тривиальная или настоящая математика вреда. Было бы парадоксально думать, что математика того или иного сорта может причинить много вреда в мирное время, поэтому мы с необходимостью приходим к рассмотрению влияния математики на войну. Обсуждать такие вопросы бесстрастно ныне весьма трудно, и я предпочёл бы уклониться от их рассмотрения. Тем не менее полностью воздержаться от обсуждения не представляется возможным. К счастью, такое обсуждение не обязательно должно быть длинным.