Большая книга занимательных наук
Шрифт:
Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76 [61] . Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:
5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д.
В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»
…2 890 625,
также удовлетворяющее уравнению х2=х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»
61
Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть найдена при помощи рассуждений, аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди приписать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому «число»…7 109 376 можно получить, приписывая спереди одну за другой цифры к шестерке.
Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х2 = х имеет (кроме обычныхх = 0 их = 1) два «бесконечных» решения:
x=…l 109 376 их =…2 890 625,
а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет.
Пифагоровы числа
Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 1). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4 а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.
Рис. 1
Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как
32+ 42= 52.
Кроме чисел 3, 4, 5 существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению
а2 + Ь2 = с2.
Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».
Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел…
Сто тысяч за доказательство теоремы
Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100 000 немецких марок!
Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения» Ферма.
Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.
Иначе говоря, надо доказать, что уравнение
xn + yn = zn
неразрешимо в целых числах для п > 2. Поясним сказанное. Мы видели, что уравнения
x 2 + y 2 = z 2,
x 3 + y 3 + z 3 = t 3
имеют сколько угодно целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных числа, для которых было бы выполнено равенство x 3 + y 3 + z 3 ваши поиски останутся тщетными.
Тот же неуспех ожидает вас и при подыскании примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степеней. Это и утверждает «великое предложение Ферма́».
Что же требуется от соискателей премии? Они должны доказать это положение для всех тех степеней, для которых оно верно. Дело в том, что теорема Ферма еще не доказана и висит, так сказать, в воздухе [62] .
Величайшие математики трудились над этой проблемой, однако в лучшем случае им удавалось доказать теорему лишь для того или иного отдельного показателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.
62
«Занимательная алгебра» впервые издана в первой половине XX века. О доказательствах теоремы Ферма́ смотри в современных публикациях. – Примеч. ред .
Замечательно, что неуловимое доказательство теоремы Ферма, по-видимому, однажды уже было найдено, но затем вновь утрачено. Автор теоремы, гениальный математик XVII в. Пьер Ферма [63] , утверждал, что ее доказательство ему известно. Свое «великое предложение» он записал (как и ряд других теорем из теории чисел) в виде заметки на полях сочинения Диофанта, сопроводив его такой припиской:
«Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести».
63
Ферма́ (1601–1665) не был профессионалом-математиком. Юрист по образованию, советник парламента, он занимался математическими изысканиями лишь между делом. Это не помешало ему сделать ряд чрезвычайно важных открытий, которых он, впрочем, не публиковал, а по обычаю той эпохи сообщал в письмах к своим ученым друзьям: к Паскалю, Декарту, Гюйгенсу, Робервалю и др.
Ни в бумагах великого математика, ни в его переписке, нигде вообще в другом месте следов этого доказательства найти не удалось.
Последователям Ферма́ пришлось идти самостоятельным путем.
Вот результаты этих усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма́ для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седьмой [64] – Ламе и Лебег (1840). В 1849 г. Куммер доказал теорему для обширной группы степеней и, между прочим, – для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего «великого предложения». Впрочем, возможно, он ошибался.
64
Для составных показателей (кроме 4) особого доказательства не требуется: эти случаи сводятся к случаям с простыми показателями.
Интересующимся историей и современным состоянием задачи Ферма́ можно рекомендовать брошюру А.Я. Хинчина «Великая теорема Ферма». Написанная специалистом, брошюра эта предполагает у читателя лишь элементарные знания из математики.
Шестое действие
Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие – возведение в степень – имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечением корня. Нахождение показателя – седьмое действие – называется логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение – только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умножения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, неравноправны между собой; переставить их, вообще говоря, нельзя (например, З5 ≠ 53). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приемами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом.
Алгебраические комедии
ЗАДАЧА 1
Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2–2 = 5,2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.
Первая:
2 = 3.
На сцене сперва появляется неоспоримое равенство 4-10 = 9-15.