Чтение онлайн

Существует ли и «единичная» система? Конечно: это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т. е. равны ей; другими словами, «единичной» можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная «система»; ею пользовался первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: она лишена главного преимущества нашей нумерации – так называемого поместного значения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на третьем или на пятом месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на третьем месте (справа) уже в 4 раза (2 х 2) больше, чем на первом, а на пятом – в 16 раз больше (2 х 2 х 2 х 2). Для изображения какого-нибудь числа по «единичной» системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же – только семь («1100100»), а в пятиричной – всего три («400»).

Вот почему «единичную» систему едва ли можно назвать «системой», по крайней мере, ее нельзя поставить рядом с остальными, так как она принципиально от них отличается, не давая никакой экономии в изображении чисел. Если же ее откинуть, то простейшей системой счисления нужно признать систему двоичную, в которой употребляются всего две цифры:

1 и 0. При помощи единицы и нуля можно изобразить все бесконечное множество чисел. На практике система эта мало удобна – получаются слишком длинные числа; но теоретически она имеет все права считаться простейшей…

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе интерес и внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

Представленные в нашей «галерее» любопытные особенности некоторых чисел не имеют ничего общего с теми воображаемыми диковинками, которые усматривают в иных числах любители таинственного. Образчиком подобных числовых суеверий может служить следующее арифметическое соображение, неосторожно высказанное знаменитым французским писателем Виктором Гюго:

«Три – число совершенное. Единица для числа 3 то же, что диаметр для круга. Среди прочих чисел 3 то же, что круг среди фигур. Число 3 – единственное, имеющее центр. Остальные числа – эллипсы, имеющие два фокуса. Отсюда следующая особенность, присущая единственно числу 3: сложите цифры любого числа, кратного 3, сумма всегда делится без остатка на 3».

В этом туманном и мнимо глубокомысленном откровении все неверно: что ни фраза, то либо вздор, либо вовсе бессмыслица. Верно только замечание о свойстве суммы цифр, но свойство это не вытекает из сказанного и к тому же не представляет исключительной особенности числа 3: им отличается в десятичной системе также и число 9, а во всех вообще системах – числа, на единицу меньшие основания.

Диковинки нашей галереи – иного рода: в них нет ничего таинственного или неразгаданного.

Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам уже знакомы. Мы знаем уже, почему попало в арифметическую кунсткамеру число 2: не потому, что оно первое четное число (первым четным числом можно, впрочем, считать не 2, а 0), а потому, что оно – основание самой удобной системы счисления.

Не удивимся мы, встретив здесь 5 – одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях». Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9, – конечно, не как символ постоянства [65] , а как число, облегчающее нам поверку арифметических действий. Но вот витрина, за стеклом которой мы видим

Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Не многим известно, что 12 – старинный и едва не победивший соперник числа 10 за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока – вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатиричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатиричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам [66] , наше деление суток на 2 дюжины часов, деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, наконец, деление фута на 12 дюймов (фут равен 30,479 см) – не свидетельствует разве все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние этой древней системы.

Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами – живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатиричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 – четыре. Преимущества двенадцатиричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6: подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3, и 1/4 и 1/6 его должны быть целыми числами. Если же выраженное в двенадцатиричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, т. е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в 10-тичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в двенадцатиричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/36, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/344, которые соответственно изобразятся так:

0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в пять одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в двенадцатиричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатиричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нолями). Когда говорят о преимуществе двенадцатиричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что, благодаря склонности нашей к «круглым» числам, на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатиричной системе нолями.

При таких очевидных преимуществах двенадцатиричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на двенадцатиричную систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу 100 лет назад: «Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы, несомненно, отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, – именно возможность счета по пальцам рук».