Чтение онлайн

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Таблица формул и правил дифференцирования

(C)' = 0; (xn)' = nxn-1;

(aх)' = ax ln a и (ex)' = ex;

(logax)' = 1/x ln a и (ln x)' = 1/x;

(sin x)' = cos x; (cos x)' = – sin x;

(tg x)' = 1/cos2x; (ctg x)' = – 1/sin2x;

(arc tg x)' = 1/(1 + x2).

[f (x) ± g (x)]' = f '(x) ± g'(x);

[Cf (x)]' = Cf '(x);

[f (x) g (x)]' = f''(x) g (x) + f (x) g '(x);

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f [j(x)], то dy/dx = (dy/du)x(du/dx) = fc (u)jc(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

Если производная f' (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

у", f" (x), d2y/dx2, d2f/dx2 или D2f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn или Dnf (x).

Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке x, если её приращение

Dy = f (x + Dx) - f (x)

можно записать в форме

Dу = АDх + aDх,

где А = А (x), a = a(х, x) ® 0 при х ® x. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x и обозначается dy или df (x). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy– dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) o х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x), и справедливо равенство dy = f' (x) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х) = f' (x); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy