Чтение онлайн

Пусть, например, задано семейство кривых

(х– С)3– у = 0. (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают

3(х– С)2– у' = 0,

после же исключения С приходят к Д. у.

27y2– (y ')3 = 0, (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение

y o 0. (11)

Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

где -yen lb C1 lb C2 lb +yen (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C1 и C2, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).

Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

4(у– Cx) + C2= 0. (12)

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

4(у– ху') + (у')2 = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

х2– у = 0,

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д. у. n– го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:

F (х, у, y', у", ..., y(n-1), y(n)) = 0. (13)

Если ввести дополнительные неизвестные функции

y1 = y', y2 = y", ..., yn-1 = y (n-1), (14)

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n– 1 уравнениям (14) присоединить уравнение

F (x, у, y1, у2, ..., yn-1, y'n-1) = 0.

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх уравнений движения материальной точки

mx" = p (x, y, z), my" = Q (x, у, z),

mz" = R (x, у, z),

где х, у, z — координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести уравнений:

mu' = р (х, у, z), mv' = Q (x, у, z),

nw' = R (x, у, z), u = х', v = y', w = z'

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид:

Решением системы Д. у. (а) называется система функций x1(t), x2(t), ..., xn (t), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (n– 1)-го уравнения, которую целесообразно записывать в симметричной форме

не предрешая вопроса о том, от какого из переменных х1, x2,..., xn мыслятся зависящими остающиеся n– 1 переменных. Считая х = (x1, x2,..., xn) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения:

что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (t, х1, x2, ..., xn