Чтение онлайн

А. А. Гончар.

Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .

Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл

Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница

I (f ) = F (b )– F (a )

В противном случае приходится искать др. пути вычисления l

. Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I

в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида

Sn

=

 Ak f (xk ),

в котором точки xk , k = 1, 2,..., n, xk ^I [a, b ], называют узлами, а коэффициенты Ak — весами.

Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I

может быть вычислено с помощью сумм Sn

с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

Rn

= I

 - Sn

.

Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x ) параметров: n, xk , Ak (k = 1, 2,..., n ), которые выбирают так, чтобы при f ^I W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ^I W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань ½Rn

½ на множестве W:

.

Пусть

Квадратурная формула, для которой Wn (W) = rn (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть wq (x ), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x ) ^I Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций wq (x ). Пусть l (wq ), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (wq ) = Sn (wq ), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы xk , а определению подлежат веса Ak . В методе Чебышева на веса Ak заранее накладываются некоторые связи [например, Ak = (b -а )/n ], а определению подлежат узлы xk . В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk . В методе Маркова j узлов (j < n ) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций wq (x ).

Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций wq = xq , q = , 1,...; узлы xk разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула , трапеций формула и Симпсона формула .

Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b ] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b ] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [ai , ai+1 ] применяются элементарные квадратурные формулы.

В формулах Гаусса m = 2n — 1, а при а = — 1, b = 1 узлы xk являются корнями Лежандра многочленаPn (x ) степени n, а

Ak = 2(1– x2k )– 1 (P’n (xk ))– 2

Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, l = b - а и xk ^I [a, b ] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x ) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

.

Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р (х ) — фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f ^I W функции f (x ) хорошо приближалась линейными комбинациями функций wq (x ).