Чтение онлайн

где

дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5 .

В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi ), hi и разностей Di hj , где

hj = hf (xj , yj ); Dhj = hj+1– hj ;

Di hj = Di-1 hj+1– Di-1 hj .

Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

даёт решение у (х ) в точке xk с точностью до величин порядка h4 .

Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

Формула	k = 2	k = 3	k = 4
(1 + x )3 » 1 + 3x	0,04	0,012	0,004
	0,06	0,022	0,007
	0,19	0,062	0,020
	0,20	0,065	0,021
	0,31 (17°48')	0,144 (8°15')	0,067 (3°50')
	0,10 (5°43')	0,031 (l'48')	0,010 (0°34')
	0,25 (14°8')	0,112 (6°25')	0,053 (3°2')
	0,14	0,47	0,015
	0,04	0,014	0,004
	0,25	0,119	0,055

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у ). По этой формуле находят D2yn-1 , а затем yn+1 = yn +Dyn+1 + D2yn-1 . Найдя yn+1 , вычисляют y’’n+1 = f (xn+1 ,yn+1 ), находят разности и повторяют процесс далее.

Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления ).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.

Приближённые вычисле'ния, вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами .

Приближённые фо'рмулы, математические формулы, получаемые из формул вида f (x ) = f* (x ) + e(х ), где e(х ) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f (x ) » f* (x ).

Например, П. ф. (1 + х )2 » 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + х )2 при малых |x |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если |x | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем х ближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg

Выше (стр. 555) приведено несколько наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |x |, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.

Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, например в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, например, что разность между sinx и двучленом

«Прибо'й» , легальное большевистское издательство, создано в ноябре 1912 в Петербурге во время «страховой кампании» (1912—1914), с 1913 начало выпуск литературы по вопросам социального страхования рабочих; с июля 1913 стало издательством ЦК РСДРП, по указанию которого главное внимание уделяло изданию политической агитационно-пропагандистской литературы по вопросам рабочего движения. Вышли сборники: «Марксизм и ликвидаторство» со статьями В. И. Ленина, «Страхование рабочих в России и на Западе» (2-й и 3-й выпуски), календарь «Спутник рабочего на 1914» (со статьей Ленина «Стачки в России») и др. В работе издательства участвовали А. И. Ульянова-Елизарова, М. С. Ольминский, Ф. И. Драбкина и др. В начале 1-й мировой войны 1914—18 в связи с цензурными репрессиями «П.» прекратил свою деятельность; издательство возобновило работу в марте 1917. Были выпущены работы Ленина «Письма о тактике». Письмо 1-е с приложением Апрельских тезисов; «Задачи пролетариата в нашей революции»; «Уроки революции»; «Материалы по пересмотру партийной программы»; «Грозящая катастрофа и как с ней бороться». В 1918 влилось в книгоиздательство «Коммунист».

Лит.: Шварцман С. М., Книгоиздательство «Прибой» (1913—1914), в сборнике: «Книга», № 13, М., 1966.

Прибо'й в ткачестве, продвижение уточной нити вдоль основы к опушке (краю) ткани. Одна из основных операций при формировании ткани на ткацком станке . Наиболее распространённый рабочий орган для П. — бердо ; перемещающее уточную нить одновременно по всей ширине основы. П. на некоторых станках осуществляется непрерывно с помощью прижимов-уплотнителей утка (круглоткацкий станок ), профилированных дисков (многозевные ткацкие машины).