Чтение онлайн

Снова рассмотрим рис. 24; возьмем длину короткой части СВ за единицу, а длину длинной части АС за х единиц. Если отношение х к 1 таково же, как (х +1) – то есть длины отрезка АВ – к х, значит, отрезок разделен в крайнем и среднем отношении. Мы можем легко найти значение x в золотом сечении. По определению крайнего и среднего отношения

Умножим обе части на х; тогда у нас получится х2 = х + 1, или простое квадратное уравнение

Если вы вдруг подзабыли, как решать квадратные уравнения, в Приложении 5 приведена краткая памятка. Два корня уравнения золотого сечения равны

х1 = (1 + 5) /2

х2 = (1 – 5) /2.

Положительный корень х1 = (1 + 5)/2 = 1,6180339887… и дает нам значение золотого сечения. Теперь очевидно, что число – иррациональное, поскольку представляет собой половину суммы 1 + 5. Тут можно сразу заподозрить, что у этого числа есть интересные свойства; для этого нам понадобится простой карманный калькулятор. Введите число 1,6180339887 и нажмите клавишу [х2]. Ну как, ничего удивительного не замечаете? Теперь снова введите то же самое число и на сей раз нажмите клавишу [1/х]. Поразительно, правда? Квадрат числа 1,6180339887… дает 2,6180339887…, его обратное число («один к х») равно 0,6180339887… – знаки после запятой полностью совпадают! Золотое сечение обладает уникальными свойствами – чтобы получить его квадрат, достаточно прибавить к нему 1, а чтобы получить число, ему обратное, – вычесть 1. Кстати, отрицательный корень уравнения х2 = (1 – 5)/2 равен в точности –1/.

Пол С. Брукманс из города Конкорд в штате Калифорния в 1977 году опубликовал в журнале «Fibonacci Quarterly» забавный стишок под названием «Constantly Mean», что можно перевести и как «Постоянное Среднее» (здесь он называет золотое сечение золотым средним):

Итак, мы получили алгебраическое выражение золотого сечения и теперь можем, в принципе, вычислить его с высокой точностью. Именно это и проделал М. Берг в 1966 году, когда он за 20 минут на большом компьютере IBM 1401 вычислил число с точностью до 4599 знака после запятой (результат был опубликован в «Fibonacci Quarterly»). Сегодня можно проделать то же самое практически на любом персональном компьютере меньше чем за две секунды. Более того, в декабре 1996 года золотое сечение было вычислено до десятимиллионного знака после запятой, и ушло на это около получаса. Для подлинных любителей интересных чисел на следующем развороте приведено значение числа до 2000 знака после запятой (справа для удобства – указаны номера десятичных позиций).

Конечно, все вышеприведенные свойства числа весьма интересны, однако читатель вправе решить, что они едва ли оправдывают звание «золотого» или «божественного» числа – и будет, конечно, прав. Однако пока что мы лишь стоим на пороге поразительных чудес.

Всем знакомо это восхитительное чувство, когда мы приходим на вечеринку, где, как мы были твердо убеждены, никого не знаем, и вдруг узнаем лицо старого друга. Такой же наплыв эмоций возникает, когда на выставке сворачиваешь за угол и вдруг видишь свою любимую картину. Близкие устраивают нам приятные сюрпризы именно потому, что нежданная радость многим из нас приносит колоссальное удовольствие. А у математики и, в частности, у золотого сечения в запасе полным-полно сюрпризов.

Представьте себе, что мы хотим вычислить значение вот такого необычного выражения, состоящего из бесконечного числа квадратных корней:

Как тут вообще подступиться к ответу? Есть один довольно-таки громоздкий метод: сначала вычислить, что даст нам 2=1,414…, затем вычислить и т. д., уповая на то, что рано или поздно значения начнут быстро сходиться к какому-то числу. Но ведь, возможно, есть и другой метод вычисления, проще и изящнее. Обозначим искомую величину х. Тогда у нас получается

Теперь возведем в квадрат обе части равенства. В левой получим х2, а при возведении в квадрат правой части мы просто уберем тот квадратный корень, под которым стоит все выражение (по определению квадратного корня), и получим

Однако обратите внимание, что поскольку выражение в правой части нашего равенства тянется до бесконечности, оно равно нашему первоначальному х. Поэтому у нас получается квадратное уравнение: х2 = 1 + х. Но ведь это и есть равенство, которое описывает золотое сечение! А следовательно, мы выяснили, что наше бесконечное равенство в точности равно числу !

А теперь рассмотрим совсем другое бесконечное выражение, на сей раз – с дробями:

Это особое математическое понятие, известное как цепная или непрерывная дробь; такие дроби довольно часто используются в теории чисел. Как же нам подсчитать значение этой непрерывной дроби? В принципе, можно понемногу отсечь единицы снизу доверху, надеясь нащупать предел, к которому сходится непрерывная дробь. Однако опыт уже научил нас, что лучше начать с того, чтобы приравнять это выражение к х. Итак,

Однако отметим, что поскольку непрерывная дробь тянется бесконечно, знаменатель второго слагаемого в правой части равен х. И вот мы получаем выражение

Умножим обе части на х – и получим х2 = 1 + х, а это опять же равенство, определяющее золотое сечение! Смотрите-ка, удивительная непрерывная дробь тоже равна числу . Об этом свойстве тоже упоминается в стихотворении Пола С. Брукманса: