Чтение онлайн

Книги этих и других арабских математиков несколько углубили знания о золотом сечении, и их открытия сыграли важную, хотя и не очень большую роль. Как часто бывает в науке, подобные подготовительные периоды медленного прогресса необходимы для следующего прорыва. Великий драматург Джордж Бернард Шоу как-то выразил свое представление о прогрессе следующими словами: «Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей». В случае золотого сечения квантовый скачок дожидался появления одного из самых выдающихся математиков Средневековой Европы – Леонардо Пизанского.

Этими словами Леонардо Пизанский (по-латыни – Leonardus Pisanus), известный также как Леонардо Фибоначчи, начал свою первую и самую известную книгу – «Liber abaci» («Книгу абака»), увидевшую свет в 1202 году. Ко времени появления этой книги с индо-арабскими цифрами, которыми мы пользуемся сегодня, были знакомы лишь несколько привилегированных европейских интеллектуалов, взявших на себя труд изучить переводы книг аль-Хорезми и Абу Камила. Некоторое время Фибоначчи помогал отцу – отец Леонардо был чиновником по таможенным и торговым делам в городе Беджаи (на территории современного Алжира), а затем путешествовал и по другим средиземноморским странам, в том числе побывал в Греции, Египте и Сирии, так что у него была возможность изучить и сравнить разные системы записи чисел и методы проведения арифметических операций. В конце концов Фибоначчи пришел к выводу, что индо-арабские цифры, при помощи которых числа записывались в позиционной системе, гораздо лучше всех прочих, и первые семь глав своего труда посвятил объяснениям, что такое индо-арабские цифры и как применять их на практике.

Леонардо Фибоначчи родился в 1170 году в семье дельца и правительственного чиновника по имени Гильельмо. Прозвище Фибоначчи (от латинского «filius Bonacci», «сын семьи Боначчи» или «сын доброй матери-природы»), вероятнее всего, придумал историк математики Гийом Либри в примечании к своей книге «История математических наук в Италии», вышедшей в 1838 году (Guillaume Libri. Histoire des Sciences Mathematique en Italie), хотя некоторые исследователи считают, что впервые это слово встречается у итальянских математиков конца XVIII века. В некоторых рукописях и документах Леонардо называет себя либо Леонардо Биголло (или Леонарди Биголли Пизани), где слово «Bigollo» означает что-то вроде «путешественник» или «важное лицо» – на тосканском и венецианском диалектах соответственно. Пиза XII века была оживленным морским портом, через который шла торговля и с материка, и из заморских стран. Дальневосточные специи проходили через Пизу на своем пути в Северную Европу, и их пути пересекались в порту с путями вина, соли и масла, перевозившихся в разные области Италии, Сицилии и Сардинии. В Пизе процветала кожевенная промышленность, козлиные шкуры для которой ввозили из Северной Африки, и по берегам реки Арно, на которой стоит город, часто можно было встретить дубильщиков, обрабатывавших кожи. Также город славился кузнецами и корабелами. Сегодня главная достопримечательность Пизы – покосившаяся башня, строительство которой началось в годы юности Фибоначчи. Очевидно, для всей этой бурной коммерческой деятельности нужна была обширная документация и учет запасов и цен. Несомненно, у Леонардо были возможности наблюдать разнообразных писцов за работой – он видел, как они составляли прейскуранты римскими цифрами и складывали числа на счетах-абаке. Арифметические действия с римскими цифрами – это вам не шутки. Например, чтобы получить сумму 3786 и 3843, нужно сложить MMMDCCLXXXVI и MMMDCCCXLIII. Ну как, громоздко? Это вы еще не пробовали умножать эти числа. Однако пока средневековым дельцам не приходилось выходить за пределы простого сложения и вычитания, им на худой конец годились и римские цифры. Римским цифрам, само собой, недоставало одной фундаментальной составляющей – позиционной системы, такой, в которой число, записанное как 547, на самом деле означает (5 x 102) + (4 x 101) + (7 x 100). Отсутствие позиционного принципа записи в Западной Европе преодолевали при помощи счетов-абака. Вероятно, слово «абак» произошло от древнееврейского слова «avaq» – «пыль», поскольку первые вычисления, по всей видимости, производились на доске, посыпанной песком, на которой палочкой выводили цифры. Во времена Фибоначчи это уже были более или менее привычные для нас бухгалтерские счеты с бусинами, которые ездили по проволокам. Разные виды счетов играли роль позиционной системы. У типичных счетов было четыре проволоки, бусины на нижней играли роль единиц, на второй снизу – десятков, на третьей – сотен и на четвертой – тысяч. Так что хотя при простых арифметических операциях счеты очень помогали (я был потрясен, когда во время поездки в Москву в 1990 году обнаружил, что на кассе в гостиничном кафе считают на счетах!), для более сложных вычислений они, конечно, совсем не годились. О том, чтобы подсчитать на счетах «миллиарды и миллиарды», о которых пишет популяризатор астрономии Карл Саган, не может быть и речи.

В городе Беджаи в Алжире Фибоначчи познакомился с искусством записи при помощи девяти индийских цифр – вероятно, как он сам выразился, под «блестящим руководством» наставника-араба. Затем Фибоначчи объехал все Средиземноморье, где еще сильнее расширил свой математический кругозор, после чего и решил опубликовать книгу, при помощи которой надеялся шире внедрить индо-арабские цифры в коммерческий обиход. В этой книге Фибоначчи скрупулезно объясняет, как переводить римские числа в новую систему и как производить арифметические операции с новыми цифрами. Он приводит многочисленные примеры, где демонстрируется применение «новой математики» для решения самых разных задач – от коммерческих сделок и заполнения и опорожнения резервуаров до движения судов. В начале книги Фибоначчи счел нужным извиниться перед читателем: «Если я случайно упустил что-то более или менее нужное или относящееся к делу, прошу простить меня, поскольку у всех есть недостатки и невозможно все предусмотреть».

Во многих случаях Фибоначчи давал не одно решение задачи, а несколько и проявлял невероятную гибкость и находчивость при выборе нескольких методов решения. Кроме всего прочего, его алгебра во многом риторична: он объясняет решение словами, а не решает уравнения, как сделали бы мы в наши дни. Приведу прелестный пример одной из задач из «Liber abaci» – «Книги счетов» (в том виде, в каком она приведена в чудесной книге Джозефа и Фрэнсис Гиз «Леонардо из Пизы и новая математика Средневековья» – Joseph and Frances Gies. Leonard of Pisa and the New Mathematics of the Middle Ages):

Заинтересованный читатель найдет и алгебраическое (современное) решение этой задачи, и риторическое решение Фибоначчи в Приложении 6.

Книга «Liber abaci» снискала Фибоначчи значительную известность, и слава о нем дошла до ушей императора Священной Римской империи Фредерика II по прозвищу «Stupor Mundi» («Всемирное диво») за покровительство математике и естественным наукам. Фибоначчи пригласили предстать перед императором в Пизе в начале 1220 годов, где один из придворных математиков Иоганн Палермский задал ему целый ряд математических задач – как полагали, очень трудных. Одна из задач гласила: «Найти рациональное число [то есть целое число или дробь], такое, что если из его квадрата вычесть 5 или прибавить к его квадрату 5, получатся также квадраты рациональных чисел». Фибоначчи решил все эти задачи весьма изобретательными методами. Затем он описал две из них в короткой книге под названием «Flos» («Цветок»), а вышеуказанную привел в прологе к книге «Liber quadratorum» («Книга квадратов»), которую посвятил императору. Сегодня мы не можем не восхищаться, что Фибоначчи сумел найти решение вышеуказанной задачи безо всяких компьютеров и калькуляторов, а просто благодаря виртуозному владению теорией чисел: 41/12. И в самом деле, (41/12)2 + 5 = (49/12)2, а (41/12)2 – 5 = (31/12)2.

Роль Фибоначчи в истории золотого сечения поистине поражает. С одной стороны, в задачах, где он сознательно прибегает к золотому сечению, он добивается значительного прогресса – пусть и не поразительного. С другой – он сформулировал задачу, которая на первый взгляд не имеет к золотому сечению никакого отношения, однако благодаря этой задаче Фибоначчи радикально расширил сферу применения золотого сечения и углубил его понимание.

Непосредственный вклад в литературу о золотом сечении Фибоначчи сделал своей короткой книгой о геометрии «Practica Geometriae» («Практика геометрии»), которая вышла в свет в 1225 году. Там ученый представил новые способы вычисления диагонали и площади правильного пятиугольника, формулы для вычисления длин сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по диаметру окружностей, описанных вокруг них и вписанных в них, и формулы для вычисления объемов додекаэдра и икосаэдра, и все это тесно связано с золотым сечением. В решениях этих задач Фибоначчи проявляет глубочайшее понимание евклидовой геометрии. Хотя его математические приемы до определенной степени опираются на работы предшественников, в особенности на труд Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике», не приходится сомневаться, что Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого сечения при решении различных геометрических задач. Однако величайшую славу Фибоначчи принесла невинная на вид задача из «Liber abaci», которая и стала главным вкладом ученого в исследования золотого сечения.

Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII «Liber abaci».

Как так вышло, что количество потомков пары кроликов имеет такое важное значение для математики? Ведь задача решается довольно просто. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две.

Рис. 27

На рис. 27 пара взрослых кроликов обозначена крупной фигуркой, а пара молодых – мелкой. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары, что и отображено на рисунке. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает, итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары – всего тринадцать пар. Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равен количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8… Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… Естественно, общее количество пар – сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц (1, 2, 3, 5, 8…). Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, в девятнадцатом веке получила название «Числа Фибоначчи»; придумал этот термин французский математик Эдуард Люка (1842–1891). Последовательности чисел, в которых отношение между соседними членами выражаются математической формулой, называются рекурсивными. Числа Фибоначчи – первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Общее свойство рис. 27 таково, что каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов, и математически это выражается следующим образом (формулу предложил в 1654 году математик Альбер Жирар): Fn+2 = Fn+1 + Fn. Здесь n – это номер члена последовательности (например, F5 – это пятый член последовательности), Fn+1 – это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 5, то n + 1 = 6), а Fn+2 – это член последовательности, следующий за Fn+1.

Фибоначчи так знаменит в наши дни, поскольку применение чисел Фибоначчи отнюдь не сводится к разведению кроликов. Кстати, название этого раздела подсказала цитата из «Естественной истории интеллекта» Ральфа Уолдо Эмерсона, вышедшей в свет в 1893 году. Эмерсон говорит: «Все помыслы черепахи – лишь о черепахах, а кролика – о кроликах». С последовательностью Фибоначчи мы еще встретимся при изучении поразительно разнообразных явлений, на первый взгляд никак не связанных друг с другом.

Для начала рассмотрим явление, пожалуй, предельно далекое от генеалогии кроликов – оптику, науку о том, как распространяются лучи света. Предположим, у нас есть две стеклянные пластины, сделанные из стекла разного сорта (с разными показателями преломления света или «индексами рефракции»), и мы поставили их вплотную друг к другу (как на рис. 28, а). Если мы посветим сквозь пластины, лучи света в принципе могут отразиться внутри от четырех отражающих поверхностей и лишь затем выйти наружу (рис. 28, а). А точнее, они могут либо пройти сквозь стекло, вообще не отразившись, либо, прежде чем выйти наружу, отразиться внутри конструкции один, два, три и т. д. раз – потенциально число отражений может быть и бесконечным. Законы оптики допускают все варианты развития событий. Если внутренних отражений вообще не было, на выходе будет только один луч (рис. 28, b). Если рассмотреть все варианты, при которых лучи претерпевают ровно одно внутреннее отражение (рис. 28, с), на выходе будет два луча, поскольку тогда лучи могут пройти двумя путями. При рассмотрении всех вариантов, когда внутренних отражений будет два, на выходе будет три луча (рис. 28, d), пять лучей – для трех внутренних отражений (рис. 28, е), восемь – если луч отразится четырежды (рис. 28, f), тринадцать – для пяти отражений (рис. 28, g) и т. д. Количество лучей на выходе – 1, 2, 3, 5, 8, 13 … – это последовательность Фибоначчи.