Чтение онлайн

Одно из решений заключалось в многократном написании цифры C в том виде, в каком она применялась для обозначения 500 и 1000: число 500 обозначали символом I, а символами I и I – пять тысяч и пятьдесят тысяч соответственно. Если число 1000 обозначается символом CI, то 10 000 и 100 000 – символами CCI и CCCI соответственно.

Несмотря на все эти хитрости, писать большие числа римскими цифрами было сложно и утомительно. Еще труднее было производить вычисления и оперировать такими числами. Худо-бедно можно было справиться со сложением и вычитанием, так как римляне располагали счетным устройством – абаком (счетной доской), – которое неплохо подходило для действий с числами, представленными римскими цифрами. Умножение же чисел, записанных римскими цифрами, – задача отнюдь не из легких. Как, например, узнать, каков результат умножения LVII, то есть 57, на LXXV, то есть на 75? {2} Деление же было в таких ситуациях настоящим искусством. Методам деления чисел, записанных римскими цифрами, обучали в лучших университетах средневековой Европы.

2

Мы до сих пор точно не знаем, как римские мастера счета выполняли подобные вычисления. Ученые сходятся, однако, в том, что римляне применяли прием, известный уже египетским ученым. Мы покажем, как действовал этот прием, на примере умножения обоих чисел: LVII и LXXV. Для начала напишем эти числа рядом:

После этого под первым числом выписывают его половину, под половиной – ее половину, потом еще половину, и так до тех пор, пока не доходят до единицы, то есть до числа I. Если же делить пополам приходится нечетное число, то берут половину четного числа, на единицу меньшую делимого.

Подробно покажем этот процесс на примере LVII: сначала напишем это число более детально XXXXX V II, потом еще подробнее XXXX VVV II и, наконец, представим его в следующем виде: XXXX VV IIIIIII. Теперь мы легко можем разделить число пополам: XX V III. Собственно, делить надо было семь единиц, но мы разделили надвое лишь шесть единиц, а седьмую просто отбросили. Поэтому таблица будет выглядеть так:

Для того чтобы вычислить половину XXVIII, запишем это число как XX IIIIIIII. Деля надвое обе части, получаем X IIII. Теперь наша таблица приобретает следующий вид:

Поскольку XIIII можно представить в виде VV IIII, постольку половину этого числа можно записать в виде V II. Остальные половинки рассчитываются очень быстро. Вместо IIIIIII пополам делят на единицу меньшее четное число IIIIII, и получают III, а вместо III делят пополам на единицу меньшее четное число II. Теперь вся таблица выглядит так:

Теперь запишем под правым числом LXXV его удвоенное значение, затем удвоенное значение удвоенного значения и так далее. Итак, удвоим первое число LXXV. Получится следующая запись: LL XXXX VV, или C XXXX X, или, упрощая, CL. Удвоив CL, мы получим CC LL, или, упрощая запись, CCC. Теперь, после внесения данных первых двух удвоений в таблицу, она приобретает следующий вид:

Теперь для того, чтобы выполнить столько же удвоений, сколько было делений пополам, надо выполнить еще три удвоения: из CCC получается CCCCCC, что можно упрощенно записать так: DC. Из DC при удвоении получается DD CC, что можно упрощенно записать так: MCC, а из MCC при удвоении получается MMCCCC:

Теперь можно считать, что главная часть умножения выполнена. Осталось сделать два шага для получения окончательного результата. Согласно таинственным воззрениям древнеегипетских ученых, нечетные числа считались «добрыми», а четные – «злыми». Если в левом столбце обнаруживается четное, то есть «злое» число, то всю строчку вычеркивают, чтобы в левом столбце остались только «добрые» нечетные числа:

«Злыми» числами считаются XXVIII (то есть 28) и XIIII (то есть 14), а все остальные числа левого столбца нечетные, то есть «добрые». На последнем шаге складывают все оставшиеся незачеркнутыми числа правого столбца, то есть находящиеся в «добрых» строчках. После упорядочивания символов мы получаем следующий результат:

После первого упрощения получаем MMM DD CC L XX V, что при окончательном упрощении дает MMMMCCLXXV. Пользуясь современной десятичной системой, мы записываем это число как 4275, и это действительно произведение двух чисел 57 и 75.

Даже представители высших сословий, которые в Средние века учились читать и писать, в большинстве своем умели только складывать и вычитать. Умножение и деление было им недоступно. В те времена, однако, существовала гильдия избранных ученых, так называемых «коссистов», занимавших в городах штатные должности вычислителей. За определенную плату они делали расчеты для городских властей, ремесленников и купцов. Чаще всего речь шла об умножении и делении. «Che cosa? – спрашивала в те времена, допустим, Филиппина Вельзер своего вычислителя. – Каков результат?» Она называла вычислителей коссистами (от слова cosa) и щедро вознаграждала их за «косу», то есть за «результат».

Около 1550 г. один из самых талантливых вычислителей, живших к северу от Альп, уроженец Штаффельштайна близ Бамберга по имени Адам Ризе, изрядно попортил доходный бизнес своих коллег по цеху. Дело в том, что Ризе опубликовал книгу – написанную по-немецки, чтобы ее могли прочитать все горожанки и горожане, – в которой он описал способы вычислений, включая умножение и деление.

В первой главе, озаглавленной Numerirn («Числа»), Адам Ризе объясняет, что для расчетов следует использовать не громоздкую запись чисел римскими цифрами, а более простую и удобную запись. Ризе с великим тщанием объясняет читателям суть арабских цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, обозначающих первые девять натуральных чисел. Далее Ризе поясняет, что для записи больших чисел необходима еще и десятая цифра – ноль, и посвящает своих читательниц и читателей в тайну десятичной системы счисления: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции цифры. Например, в числе 4205 пять стоит в позиции единиц, ноль – в позиции десятков, 2 – в позиции сотен, а 4 – в позиции тысяч. На этом же примере Ризе объясняет, как велика в записи роль нуля, ибо 4205 – это совсем иное число, нежели 425, или 4250, или, допустим, 42050.

В следующих главах, озаглавленных Addiren («Сложение»), Subtrahirn («Вычитание»), Multiplicirn («Умножение») и Dividirn («Деление»), автор объясняет, как выполнять арифметические действия с числами, записанными арабскими цифрами. Методы, предложенные Адамом Ризе, в точности совпадают с теми, которым и сегодня учат в школах наших детей. Мало того, Ризе не просто дает своим читателям общее представление о методах счета, он учит выполнять арифметические действия на великом множестве примеров, чтобы люди смогли в совершенстве овладеть этими методами.

Заключительная глава называлась Regula Detri («Тройное (золотое) правило»). В последней главе Ризе объясняет «это тройное правило» (Dreisatz), или, как его называют в Австрии и Южной Германии, «правило окончательного расчета» (Schlussrechnung). Это правило является фундаментом всех важных в хозяйстве и торговле вычислений и расчетов.

Задача всегда формулируется тремя предложениями – двумя утверждениями и одним вопросом: «Пятеро каменщиков возводят за пять дней стену длиной пять метров. Теперь десять каменщиков работают десять дней. Какова длина возведенной ими стены?» «6 локтей ткани стоят 42 крейцера. За ткань был уплачен 91 крейцер. Сколько ткани было куплено?» Таких примеров в книге приведено великое множество, и в каждом случае Ризе терпеливо объясняет ход правильного решения.

Книга Адама Ризе пользовалась оглушительным успехом. Только при его жизни она выдержала больше ста изданий. После выхода в свет книги Адама Ризе коссисты потеряли свое значение, ибо никто больше не нуждался в их услугах – все стали считать самостоятельно.

С точки зрения истории развития человеческого духа и познания достижение Ризе невозможно переоценить. Впервые люди перестали зависеть от алчных ученых, втайне выполнявших важные, но недоступные простым людям расчеты. Теперь никаких тайн больше не существовало. Никто теперь не нуждался в мастерах счета – все умели считать сами, так же как читать и писать. Адам Ризе освободил представительниц и представителей третьего сословия от зависимости. После тьмы Средневековья забрезжила эпоха Просвещения.

Когда время от времени слышишь провокационный вопрос о том, зачем надо преподавать в школе математику, ответ – в духе рассказанной истории – напрашивается сам собой: затем, что математика стала первым и самым успешным достижением просвещения.

Однако Адам Ризе был не первым, кто попытался внедрить в Европе арабскую нумерацию. Задолго до него, в начале XIII в., итальянский математик Фибоначчи написал «Книгу абака» (Liber Abaci), в которой первым (если не считать арабских математиков) объяснил суть и значение арабских цифр и позиционной системы счисления. Правда, коммерческого успеха книга Фибоначчи не имела. Ее практически никто не стал читать. Возможно, все дело было в малом тираже, так как книгопечатание к тому моменту еще не было изобретено. Кроме того, книга была написана на латинском языке, который к тому времени был уже основательно забыт жителями Италии.

За несколько столетий до Фибоначчи французский священник Герберт Орильякский, обучаясь в университетах Севильи и Кордовы, столкнулся с арабскими цифрами. В 999 г. Герберт Орильякский был избран папой под именем Сильвестр II. Правда, его святейшество, изучив новую нумерацию, так и не понял ее значимости: вероятно, это было связано со своеобразием цифры 0.

В самом деле, ноль – весьма загадочное число. Но в представлении чисел важно одно его свойство – с помощью нуля можно без труда записывать сколь угодно большие числа: 1 000 000 – это один миллион, 1 000 000 000 – один миллиард, 1 000 000 000 000 – один триллион, и так далее. Записывать большие числа с помощью ряда нулей довольно хлопотно и утомительно, и поэтому такие числа записывают с помощью степеней. Например, 106 – это миллион, 109 – миллиард и так далее.

Не стоит также упускать из вида, что в англоязычных странах большие числа называют совсем по-другому. Хотя 106 там, как и в Германии, называют миллионом, но 109 – это уже биллион, а 1012 – триллион. То, что «биллион» надо переводить как «миллиард», а «триллион» как «биллион» [5] , может даже для высокообразованных людей стать иногда источником прискорбных ошибок и недоразумений. Для людей, профессионально оперирующих астрономическими числами, однако, эти наименования – будь то немецкие миллионы, миллиарды, биллионы, биллиарды и триллионы или английские миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы и квинтиллионы – не играют большой роли. Специалисты говорят, например, «десять в одиннадцатой степени», когда имеют дело с числом 1011, то есть с сотней миллиардов, числом, которое можно записать единицей с одиннадцатью нулями. При таком подходе недоразумения не возникают никогда.

Разумеется, представить себе сумму в сто миллиардов евро так, как мы представляем себе десять или сто евро, абсолютно невозможно. Конечно, мы с полным основанием называем состоятельным человека, который обладает несколькими миллионами евро. Состоятельным является и миллиардер, хотя его можно назвать и невероятно богатым. Однако для него деньги – это нечто иное, нежели для миллионера. Чем больше денег, тем более абстрактными они становятся. Ни один человек, обладающий миллиардом евро, не строит, как Скрудж Макдак, хранилище для золотых монет. Очевидно, что гигантские суммы денег – это совершенно иная валюта, нежели суммы обозримые. Так было уже пятьсот лет назад, во времена Фуггеров, которые предоставляли императору огромные суммы для осуществления его замыслов. Как банкиры Фуггеры осознавали свою ответственность за благополучие всего государства – в отличие от богатых прожигателей жизни и игроков, которые существовали и тогда. В сравнении с Фуггерами их состояния были микроскопически малы и к тому же непрерывно таяли.

Знаменательно, что самая известная история, в которой главную роль играет громадное число, родилась в Индии, в стране, где были изобретены ноль и позиционная система счисления. Это история о рисовых зернах и шахматной доске. У этой истории множество вариантов. В сказочном изложении она выглядит так.

Давным-давно, в незапамятные времена, один молодой магараджа правил огромной процветающей страной. Однажды магараджа влюбился в прекрасную принцессу. Они поженились. Перед счастливой парой открывалось безбрежное и чудесное будущее. Магараджа мудро управлял своей страной; крестьяне собирали богатейшие урожаи риса, а все подданные магараджи жили в достатке и довольстве. Но судьба оказалась жестокой к магарадже и его магарани. Она тяжело заболела, ни один врач не смог помочь ей, и через несколько дней она умерла. В стране воцарился глубокий траур, но больше других горевал овдовевший магараджа. Скорбь его была безмерна, и ничто не могло ее облегчить. В своем горе магараджа забыл обо всем, забыл о своей стране, забыл о своем долге заботиться о благе подданных. Страна стала приходить в упадок, урожаи риса становились все скуднее и скуднее, подданные зарабатывали все меньше денег и впадали в бедность. Обнищание населения приняло катастрофические масштабы. Придворные чувствовали себя абсолютно беспомощными, не зная, что сделать для того, чтобы остановить беду. Так продолжалось до тех пор, пока кто-то из придворных не вспомнил об одном старом мудреце, жившем в тесной келье где-то в горах. Было известно, что этот старик-мудрец почитался лучшим в мире советчиком. Откладывать было нельзя, и придворные решили во что бы то ни стало призвать мудреца во дворец с тем, чтобы он освободил владыку от печали и отвлек его от скорби по умершей супруге.