Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением
Шрифт:
Мудрец вошел в покои магараджи, неся с собой квадратную доску, на которую были нанесены чередующиеся белые и черные квадраты. Этих квадратов было 64, по восемь квадратов в восьми рядах. Мудрец сел за стол напротив магараджи, который смотрел на него сквозь пелену слез, поставил между собой и магараджей доску и принялся расставлять на ней диковинные деревянные фигурки. В предпоследнем ряду на своем крае доски он расставил в ряд восемь крестьян (пешки), а затем, в ближнем к себе внешнем ряду, поставил по краям две башни (ладьи), рядом с ними, с обеих сторон, двух прыгунов (коней), рядом с которыми – тоже с обеих сторон – поставил двух бегунов (слонов). Остался промежуток в два квадрата. На эти квадраты мудрец поставил царя (короля), олицетворявшего магараджу, и царицу (ферзя), олицетворявшую магарани. Фигуры, которые мудрец расставил на своей стороне доски, были черными. Покончив с расстановкой, он принялся расставлять такие же, но белые фигуры на стороне магараджи. Делая это, мудрец вполголоса, словно сам себе, объяснял свои действия. Магараджа выглядел совершенно безучастным, но мудрец отлично понимал, что властитель не пропустил ни одного его слова. Расставляя фигуры, мудрец объяснял, как они ходят. Башни, например, только в горизонтальном и вертикальном направлениях, бегуны – только по диагонали, царь может ходить в любом направлении, но только на одну клетку, но вот царица… – в этот момент магараджа немного оживился и прислушался – царица могущественная фигура, она может ходить и по горизонтали, и по вертикали, и по диагонали, причем на любое расстояние. Попутно мудрец объяснил, как ходят крестьяне и прыгуны, как фигуры сбивают друг друга, а также рассказал, что такое «шах» и «мат».
– Может быть, нам стоит сыграть пробную партию? – негромко спросил мудрец, и магараджа, видя старания мудреца, не смог отказать ему в этой пустяковой просьбе. Он кивнул и сделал первый ход. После исчерпывающих объяснений мудреца магарадже даже удалось выиграть первую свою партию.
– Теперь я требую реванша, – сказал мудрец, снова расставив на доске фигуры.
Вторую партию магараджа проиграл.
– На этот раз реванша требую я, – объявил магараджа, и мудрец принял вызов, но попросил перенести партию на следующий день, так как магарадже надо было заняться неотложными государственными делами.
Мудрецу и в самом деле удалось отвлечь магараджу от его скорби. Правление его снова стало мудрым и успешным. Жизнь людей стала с каждым днем улучшаться, житницы снова стали наполняться рисом. Каждое утро магараджа и мудрец играли по две партии, и через некоторое время магараджа стал весьма искусным шахматистом. После игры магараджа уходил заниматься делами управления, а мудрец занимался медитацией.
Так продолжалось много недель и месяцев – до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.
– Но я не могу отпустить тебя без награды, – возразил магараджа, – подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.
– Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? – уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. – На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.
– Ты требуешь такой малости? – возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него – целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:
После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек:
Сто двадцать восемь ложек – это горшок риса. Теперь рис в зал стали носить уже несколько слуг. Для шести клеток третьего ряда вышло
горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло
полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.
Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.
Мудрец знал это – во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры ноль. На первой клетке находилось одно зернышко, а затем с каждой клеткой число зерен удваивалось. Число зерен на следующих десяти клетках распределилось так:
Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:
каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 x 1000 = 1 000 000 = 106 зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 x 106 = 109 зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 x 109 = 1012 зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 x 1012 = 1015 зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 x 1015 = 1018 зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.
Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность {3} скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!
Чем же закончилась эта история о мудреце и магарадже? Этого мы не знаем. Возможно, что потрясенный магараджа, поняв, что не сумеет все же набрать и больше 16 квинтиллионов зерен риса, сказал мудрецу:
– Ты не сможешь спрятать столько зерна в своем убежище в горах и даже перевезти его туда, даже если я дам тебе всех своих слуг!
3
Иногда люди думают, что математика отличается от прочих наук тем, что в ней все результаты можно вычислять с достоверной точностью. Однако это ни в коем случае не верно. Часто бывает достаточно знать приближенное значение результата для того, чтобы верно его оценить. Во всяком случае, достаточно сильно впечатляет, что приведенное в тексте простое рассуждение позволяет оценить порядок величины числа рисовых зерен на шахматной доске, не прибегая к утомительным многочасовым вычислениям и сложной компьютерной технике.
Тот, кто все же хочет знать точный результат, должен принять во внимание следующее соображение: каждый раз, когда мы заменяем число 1024 числом 1000 = 10^3, то есть удобным для вычислений приближением, мы допускаем ошибку, составляющую 2,4 процента от точной величины. Эту ошибку в ущерб числу рисовых зерен мы совершаем на 11, 21, 31, 41, 51 и 61-м поле, то есть в шести пунктах шахматной доски. Таким образом, разница между грубо прикинутым количеством риса и точным числом рисовых зерен, которые надо высыпать на доску, составляет 6 x 2,4 = 14,4 %, то есть это величина относительной разницы между 16 квинтиллионами зерен и точным числом. 15 процентов от шестнадцати составляет 2,4, то есть 15 процентов от 16 квинтиллионов составляют 2,4 квинтиллиона, которые и надо прибавить к этому количеству, и в результате мы получим те же 18,4 квинтиллиона зерен.
Вооружившись высокопроизводительной вычислительной машиной, можно сложить 64 числа, каждое из которых получается в результате удвоения предыдущего числа, начиная с единицы. Результат в точности равен:
то есть 18 квинтиллионам 446 квадриллионам 744 триллионам 73 миллиардам 709 миллионам 551 тысяче 615 рисовым зернам. Надо заметить, что существует более простой способ получения такого же точного результата: сумма всех предыдущих чисел равна удвоенному значению последнего числа минус единица. Вот, например, сумма зерен в первом ряду шахматной доски:
Это значит, что для того, чтобы получить сумму всех зерен на шахматной доске, надо возвести два в 64 степень, и из полученного результата
вычесть единицу.
– Ты прав, это немыслимо, – ответствовал мудрец. – Из этого риса получилась бы огромная пирамида, наподобие пирамид в Гизе, в далеком Египте. Но моя пирамида получилась бы несравненно выше – не 140 метров, как пирамида Хеопса, а почти пять километров. Пирамида из риса могла бы вместить 40 тысяч пирамид Хеопса.
После этого в зале повисло долгое молчание, а потом мудрец обратился к властителю:
– Для меня, о великий магараджа, большой наградой стала возможность не только научить тебя игре в шахматы, но и показать, какая мощь кроется за большими числами, и я вполне удовольствуюсь такой наградой.