Чтение онлайн

В эпоху виртуальных построений, когда суперкомпьютеры создают модели потоков в любых системах, начиная от струйных турбин и заканчивая сердечными камерами, забываешь, как легко природа может поставить экспериментатора в тупик. Фактически ни один компьютер сегодня не в состоянии полностью имитировать даже такую несложную систему, как ячейка с жидким гелием Либхабера. Всякий раз, когда опытный физик изучает компьютерную модель, он вынужден задаваться вопросом, какая часть действительности не учтена и какие подвохи это сулит. Либхабер любил повторять, что не рискнул бы пуститься в дорогу на виртуальном самолете — кто знает, какой детали в нем недостает? Более того, он замечал, что компьютерные модели, помогая строить интуитивные догадки или совершенствовать вычисления, не становятся источником подлинных открытий. Во всяком случае, так звучало кредо истинного экспериментатора.

Опыт Либхабера казался слишком безукоризненным, а научные цели — столь абстрактными, что находились физики, относившие его работу больше к философии или к математике, нежели к физике. Экспериментатор, в свою очередь, полагал, что в его дисциплине господствуют редукционистские стандарты, отдающие пальму первенства изучению свойств атомов. «Физик спросит: как может данный атом, появившись здесь, обосноваться там? Что произойдет у поверхности объекта? Можно написать гамильтониан системы? Если я отвечу, что меня интересует лишь сама форма, ее математика и эволюция, разветвление, переходы к другой форме, возвращение к рассматриваемой, он заявит, будто я занимаюсь не физикой, а математикой. Даже сегодня я слышу такие утверждения. Что я могу сказать на это? Да, конечно, я занимаюсь математикой, но она напрямую относится к тому, что происходит вокруг нас, и это тоже природа».

Обнаруженные Либхабером модели действительно были абстрактными, математическими и ничего не проясняли в свойствах жидкого гелия, меди или в поведении атомов при температуре, близкой к абсолютному нулю. Но именно о таких моделях мечтали мистически настроенные предшественники Либхабера. Эти модели узаконили эксперименты, которыми вскоре займутся многие ученые, ищущие новые элементы движения, от химиков до инженеров-электронщиков. Модели обнаружились, когда Либхабер, увеличив температуру, сумел выделить первое удвоение периодов, затем спрогнозировать следующее и т. д. Согласно новой теории, бифуркации должны были воспроизводить геометрию с точным масштабированием, что и обнаружил Либхабер. Универсальные инварианты Файгенбаума с этого мгновения превращались из математического идеала в физическую реальность, которую можно было измерить и воспроизвести. Либхабер долго вспоминал потом свои ощущения в тот сверхъестественный миг, когда он узрел одну бифуркацию за другой и понял, что перед ним бесконечный каскад изменений с богатейшей структурой. Это было, как он заметил, занятно.

Математик Майкл Барнсли встретил Митчелла Файгенбаума во время конференции на Корсике в 1979 г. Барнсли, недавний выпускник Оксфорда, только-только познакомился с понятием всеобщности, удвоением периодов и бесконечным каскадом бифуркаций. «Отличная идея, — подумал он. — И конечно, все набросятся на нее, чтобы отхватить себе по кусочку». Барнсли тоже присмотрел себе кусочек, не замеченный еще ни одним из конкурентов.

Откуда происходили эти циклы (2, 4, 8, 16), эти последовательности Файгенбаума? Появлялись ли они, будто по мановению волшебной палочки, из математической пустоты или содержали намек на нечто более глубокое? Барнсли интуитивно чувствовал, что они — часть какого-то невероятного фрактального объекта, ускользавшего до сих пор из поля зрения ученых.

Для проверки идеи уже имелся математический аппарат — комплексная плоскость. В данной плоскости числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, т. е. все действительные числа, лежат вдоль линии, которая тянется с запада на восток, а ноль располагается в середине. Но данная линия лишь экватор мира, простирающегося на север и на юг до бесконечности. Каждое число состоит из двух частей: действительной, соответствующей долготе, и мнимой, соответствующей широте. Эти комплексные числа условно записываются следующим образом: 2 + 3і, где і обозначает мнимую часть. Обе части сообщают каждому числу уникальное местоположение на данной двухмерной плоскости. Первоначальная линия, таким образом, является лишь частным случаем — совокупностью чисел, мнимая часть которых равна нулю. Рассматривать в такой сложной плоскости лишь действительные числа (точки экватора) значит ограничить свое поле зрения случайными пересечениями форм, которые, будучи обозрены в двух измерениях, могут открыть нечто новое. Так полагал Барнсли.

Понятие действительногои мнимогочисла возникло в те времена, когда обычные числа казались более реальными, чем новый «гибрид». Ныне любой ученый сознает, что названия эти произвольны. Числа каждого типа столь же действительны, сколь и мнимы. Ранее мнимые числа использовались для заполнения умозрительного вакуума, порождаемого вопросом: чему равен квадратный корень из отрицательного числа? Условно квадратный корень из -1 принимали за і, квадратный корень из -4 — за 2і и т. д. Это была лишь одна из ступеней на пути к осознанию того, что сочетание действительных и мнимых чисел позволяет отыскать все корни многочлена. Комплексные числа можно складывать, умножать, делить, усреднять, интегрировать. Словом, почти каждое вычисление с действительными числами удается проделать и с комплексными. Итак, Барнсли начал переводить функции Файгенбаума в комплексную плоскость, и тут он заметил контуры, порождаемые удивительным семейством форм. Они относились, по-видимому, к тем динамическим системам, которые ставили в тупик физиков-экспериментаторов. Эти формы являлись одновременно и поразительными математическими конструкциями.

В конце концов Барнсли понял, что циклы в последовательностях Файгенбаума возникают не на пустом месте. Они относятся к линии, удаленной от комплексной плоскости, где, если приглядеться, существует целое «созвездие» циклов всех порядков. Там всегда наблюдались цикл-два, цикл-три, цикл-четыре, ускользавшие из виду до тех пор, пока они не достигнут линии-экватора с действительными числами. Вернувшись с Корсики в Технологический институт Джорджии, Барнсли написал статью и предложил ее журналу, занимавшемуся вопросами математической физики. Редактор, которым оказался Давид Руэлль, огорчил его: Барнсли, сам того не ведая, повторил открытие пятидесятилетней давности, которое сделал один французский математик. «Руэлль отфутболил мою работу, сопроводив ее припиской: „Майкл, здесь речь идет о множествах Джулиа“», — вспоминал позже Барнсли. Руэлль также посоветовал математику связаться с Мандельбро.

Джон Хаббард, американский математик, обожавший модные рубашки, уже три года преподавал начала математического анализа первокурсникам в Университете Орсе, во Франции. Среди прочих тем в учебный план входило рассмотрение метода Ньютона — классической схемы решения уравнений путем последовательных приближений, или итераций. Хаббарда, впрочем, привычные темы немного утомляли, и однажды он решил, что преподнесет вопрос в такой форме, которая заставит студентов поразмыслить.

Ньютонов метод известен давно. Он не отличался новизной даже тогда, когда Ньютон его «изобрел». Древние греки применяли один из вариантов этого метода для извлечения квадратных корней. Решение начинается с догадки, с начального числа, которое приводит к более точному результату, и процесс итерации устремляется к ответу, подобно тому как динамическая система стремится обрести устойчивое состояние. Процесс идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Конечно, сейчас квадратные корни вычисляют более аналитическими методами, как и все корни квадратных уравнений — тех, в которых неизвестное xвозводится не более чем во вторую степень. Но Ньютонов метод является действенным и для многочленов с высокими степенями, которые не могут быть разрешены аналитически. Он прекрасно подходит для множества компьютерных алгоритмов — ведь итерационные процедуры, как никакие другие, подходят для выполнения на вычислительной машине. Одним маленьким недостатком данного метода можно считать то, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именнорешение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки. На практике для студентов не составляет труда преодолеть начальный этап. Обычно имеется отправной пункт, и если сделанное предположение приводит к неверному решению, надо просто начинать с другой точки.

Вы спросите, каким маршрутом метод Ньютона приводит к корням квадратного уравнения на комплексной плоскости? Рассуждая геометрически, ответим, что метод позволяет отыскать тот из двух корней, который ближе к первоначальной догадке. Именно это Хаббард и объяснил своим студентам, когда однажды ему задали такой вопрос. «Уравнения, скажем, третьей степени решаются сложнее, — заметил преподаватель. — Я подумаю над этой проблемой, и мы займемся ею через неделю».

Он полагал, что наибольшую трудность для студентов будет представлять итерационный процесс, но никак не выдвижение начальной догадки. Но чем больше Хаббард размышлял на эту тему, тем менее определенным казалось то, что следует считать разумной догадкой или к чему на самом деле приводит метод Ньютона. Очевидным геометрическим решением было бы разделение плоскости на три равных сектора, похожих на куски пирога, в каждом из которых находилось бы по одному корню. Однако, как обнаружил Хаббард, идея не срабатывала: около границ секторов творились весьма странные вещи. Кроме того, выяснилось, что он далеко не первый специалист, споткнувшийся на этом чрезвычайно сложном вопросе. Так, Артур Кейли в 1879 г. попытался перейти от уравнений второй степени, которые казались вполне понятными, к пугающе сложным уравнениям третьей степени. Тем не менее Хаббард столетие спустя имел в своем распоряжении то, чего недоставало Кейли.

Хаббард относился к числу тех математиков, которые, уважая точность, презирали всяческие догадки, аппроксимации и эмпирику, основанную скорее на интуиции, чем на доказательстве. Даже спустя двадцать лет после появления в литературе упоминания об аттракторе Лоренца он продолжал настаивать на том, что фактически никто не знал, дали начало аттрактору уравнения Лоренца или нет. Это представлялось ему лишь недоказанным предположением, а уже знакомая нам двойная спираль, по его утверждению, была не доказательством, а простой очевидностью, тем, что изображают компьютеры.

Но сейчас, отринув сомнения, Хаббард все-таки обратился к компьютеру, чтобы выполнить то, что общепринятые методы обошли стороной. Компьютер не доказал быничего, но, по крайней мере, он мог бы кое-что прояснить, чтобы математик понял, что именно ему предстоит доказать. Итак, Хаббард начал экспериментировать, рассматривая Ньютонов метод не как средство решения задач, а как саму задачу. Он взял в качестве примера простое кубическое уравнение x^3 — 1 = 0, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы. В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня: