Чтение онлайн

Такое объединение вселенной форм с миром чисел говорило о разрыве с прошлым. Новые геометрии всегда начинаются с того, что кто-нибудь пересматривает базовый постулат. Предположим, говорит ученый, что пространство определенным образом искривлено, —и в результате получается странная пародия на Евклида, геометрия Римана — Лобачевского, которая стала основой общей теории относительности. Дальше — больше… Допустим, что пространство может иметь четыре измерения, пять или даже шесть… Вообразим, что число, выражающее измерение, может представлять собой дробь… Представим, что геометрические объекты можно закручивать, растягивать, завязывать узлами… Пусть их можно определить не решением определенного уравнения, а итерацией его с помощью петли обратной связи.

Джулиа, Фато, Хаббард, Барнсли, Мандельбро — все эти математики изменили правила создания геометрических форм. Картезианский и Евклидов методы превращения уравнений в кривые знакомы любому, кто изучал геометрию в средней школе или находил точку на карте по двум координатам. В стандартной геометрии кроме уравнения необходим также и набор чисел, которые ему удовлетворяют, тогда решения уравнения вроде x^2 + y^2 = 1 образуют форму, в данном случае — окружность. Другим простым уравнениям соответствуют иные фигуры: эллипсы, параболы, гиперболы конических сечений и даже более сложные формы, порождаемые дифференциальными уравнениями в фазовом пространстве. Но когда геометр прибегает к итерации, вместо того чтобы решать уравнение, последнее преобразуется из описания в процесс, из статического объекта в динамический. Подставив исходное число в уравнение, мы получим новое число, которое, в свою очередь, даст еще один результат, и так далее. Соответствующие им точки перепрыгивают с места на место. Точка наносится на график не тогда, когда она удовлетворяет уравнению, а тогда, когда она генерирует определенный тип поведения. При этом один из них может представлять собой устойчивое состояние, а другой — неуправляемое стремление к бесконечности.

До компьютерной эры даже Джулиа и Фато, понимавшие, какие возможности таит в себе новый тип построений, не могли превратить его в науку. С появлением вычислительных машин «геометрия проб и ошибок» получила право на жизнь. Хаббард изучил Ньютонов метод, последовательно рассчитывая поведение точек. Мандельбро первоначально рассматривал свою систему аналогичным образом, применяя компьютер для перехода от одной точки на плоскости к другой. Конечно, он исследовал не все точки — время и возможности компьютера ограничены. Ученый использовал решетку точек, нечто вроде координатной сетки. Более частая решетка давала более точную картину, но требовала более трудоемких вычислений. Впрочем, рассчитать систему Мандельбро довольно просто. Весь процесс сводится к итерации в комплексной плоскости выражения z– > z^2 + c. Нужно лишь, взяв число, умножить его на самое себя и прибавить первоначальное его значение.

Освоившись с новым способом исследования форм при помощи компьютера, Хаббард рискнул применить для рассмотрения динамических систем методы комплексного анализа, чего раньше не делали. Он чувствовал, что некая внутренняя связь объединяет различные разделы математики. Хаббард также знал, что будет недостаточно лишь увидетьмножество Мандельбро. Он хотел добиться полной ясности. В конце концов он заявил, что это ему удалось.

Если бы граница была просто фрактальной — в духе причудливых картин Мандельбро, тогда каждое последующее изображение более или менее походило бы на предыдущее. Принцип внутреннего подобия при различных масштабах позволил бы предугадать, что мы увидим в электронный микроскоп на следующем уровне увеличения. Вместо этого каждый взгляд в глубины системы Мандельбро приносил все новые сюрпризы. Мандельбро, желая применить свой термин «фрактал» к новому объекту, начал беспокоиться о том, что определил это понятие слишком узко. При достаточном увеличении выяснилось, что система приблизительно повторяет свои же элементы — крошечные, похожие на жучков объекты, отделявшиеся от основной формы. Однако, еще более увеличив изображение, исследователь убеждался, что эти молекулы не во всем соответствуют друг другу, — всегда появлялись новые формы, похожие на морских коньков или на вьющиеся ветви оранжерейных растений. Фактически ни один фрагмент системы точно не походил на другой при любомувеличении.

Обнаружение «плавающих» молекул сразу же повлекло за собой дополнительные трудности. Являлось ли множество Мандельбро связанным, похожим на континент с выдававшимися вперед полуостровами? Или оно походило на рассеянное скопление, где основной объект окружали мелкие островки? Ответ на этот вопрос выглядел далеко не очевидным. Знания о множествах Джулиа мало что давали, поскольку их графические образы носили двоякий характер: одни представляли собой целые формы, другие смахивали на скопление пылинок. Эти мельчайшие частицы, будучи фрактальными, обладали особым свойством: они не составляли единого целого: каждая отделена от другой зоной пустого пространства. В то же время ни одна «пылинка» не выглядит обособленной; заметив одну, можно всегда найти и расположенную произвольно близко группу частиц. Мандельбро, разглядывая свои картины, постепенно понимал, что с помощью компьютерного эксперимента ему не удается ответить на основной вопрос. Его внимание сосредоточилось на частичках, «парящих» вокруг основной формы. Некоторые из них пропадали, другие, удивительно похожие, наоборот, появлялись. Они, казалось, не зависели друг от друга, но, возможно, были связаны между собой линиями, столь тонкими, что решетка уже найденных точек никак не могла уловить их.

Доуди и Хаббард блестяще использовали свою новую математику, чтобы доказать, что каждая плавающая молекула на самом деле «висит» на филигранной нити, которая связывает ее с другими молекулами. В итоге получается хрупкая паутинка, ведущая от крошечных частиц к основному объекту, — «дьявольский полимер», говоря словами Мандельбро. Математики доказали, что в каждом сегменте — не имеет значения, где он находится и насколько он мал, — при увеличении «компьютерным микроскопом» обнаружатся новые молекулы, каждая из которых будет напоминать систему в целом и одновременно чем-то отличаться от нее. Каждая новая молекула будет обладать собственными спиралями и выступающими частями, похожими на языки пламени, и в них также неизбежно обнаружатся новые молекулы, еще меньшие, такие же бесконечно разнообразные, всегда подобные, но никогда — полностью идентичные. Это можно назвать чудом миниатюризации: каждая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой.

«Все в высшей степени геометрическое, причем преобладают решения, продиктованные прямыми линиями, — сказал Хайнц Отто Пайтген, рассуждая о современном искусстве. — В частности, творения Джозефа Альберса, пытавшегося истолковать соотношение цветов, в сущности являли собой квадраты различных оттенков, размещенные один на другом. Такие вещи пользовались большой популярностью, но сейчас, взглянув на них, мы понимаем, что их время миновало. Людей такое уже не привлекает. В Германии строятся огромные жилые кварталы в стиле модерн, но все выезжают оттуда, никто не желает в них селиться. Как мне кажется, общество сегодня имеет веские причины для настороженного отношения к некоторым нашим взглядам на природу». Пайтген помогал посетителю выбирать увеличенные изображения некоторых участков системы Мандельбро, множеств Джулиа и других итерационных процессов, оформленные в изысканной цветовой гамме. В своем небольшом кабинете в Калифорнии он демонстрировал слайды, огромные плакаты и даже календарь с изображением системы Мандельбро. «Глубокий энтузиазм вызывает эта изменившаяся перспектива рассмотрения окружающего мира. Каков верный взгляд на природный объект? Скажем, что важнее всего в дереве? Прямая ли это линия или фрактальный образ?» Тем временем в Корнелле Джону Хаббарду пришлось столкнуться с коммерческими реалиями. Когда математический факультет одолели просьбами выслать изображения системы Мандельбро, он понял, что должен подготовить образцы и составить что-то вроде прайс-листа. В его вычислительных машинах хранились десятки уже просчитанных объектов, готовых к немедленной демонстрации. Организовать показ ему помогали аспиранты, помнившие все технические детали. Все же наиболее эффектные картины, отпечатанные с большим разрешением и ярко расцвеченные, распространяли двое немцев — Пайтген и Питер Рихтер, трудившиеся вместе с группой ученых из Университета Бремена при надежной поддержке одного из местных банков.

Пайтген и Рихтер — математик и физик — обратились в своих исследованиях к системе Мандельбро, которая стала для них кладезем идей, питавших современную философию искусства, оправданием новой роли эксперимента в математике, а также средством популяризации сложных систем. Они опубликовали множество сверкавших глянцем каталогов и книг, которые показали всему свету галерею компьютерных образов. Рихтер пришел к изучению сложных систем из физики, миновав попутно химию, а затем и биохимию, где изучал биологические осцилляции. В серии статей, посвященных иммунной системе и окислению глюкозы, он сообщал, что колебания часто управляют динамикой процессов, которые традиционно рассматривались как статические по причине того, что живые системы не так-то легко изучать в режиме реального времени. Рихтер прикрепил к своему подоконнику хорошо смазанный двойной маятник, «комнатную динамическую систему», сконструированную по его заказу в университетской мастерской. Время от времени ученый запускал систему, задавая хаотические неритмичные движения, которые он мог имитировать с помощью компьютера. Зависимость от начальных условий оказалась настолько сильной, что гравитационное притяжение единственной дождевой капли в миле от места проведения опыта спутывало движение в пределах пятидесяти-шестидесяти полных оборотов, что занимало около двух минут. Многоцветные графические рисунки Рихтера, где изображалось фазовое пространство его маятника, указывали на зоны смешения периодичности и хаоса. Ученый использовал аналогичную графическую технику для изображения идеализированных участков намагничивания в металле, а также для изучения системы Мандельбро.

Его коллеге Пайтгену изучение феномена сложности давало шанс заложить в науке оригинальные традиции. «Начав сегодня трудиться в удивительной новой области, такой как эта, талантливый ученый сумеет предложить нетривиальные решения через несколько дней, через неделю или спустя месяц», — заметил Пайтген. Предмет его изучения не был еще структурирован. «В структурированной области, — продолжал он, — есть изученное, есть неизученное, и есть то, что уже пытались изучить, но не смогли. Здесь же приходится работать над проблемой, о которой известно лишь одно: она такая, какая есть. И она, разумеется, должна быть сложной, иначе ее бы уже давно разрешили».

У Пайтгена не было того предубеждения, с которым большинство математиков относились к компьютерным экспериментам. Само собой разумелось, что стандартные методы доказательств в конечном счете должны привести к точному результату, иначе это будет не математика. Графический образ на экране обретал законное право на существование, будучи истолкован на языке теорем и доказательств. И все-таки генерирование такого изображения уже само по себе изменяло эволюцию дисциплины. Как полагал Пайтген, компьютерные исследования позволили ученым избрать более естественную стезю развития науки. Математик вправе на время абстрагироваться от требования точности доказательства и, подобно физику, следовать туда, куда приведут его эксперименты. Огромная производительность компьютерных вычислений и визуальные ключи к интуитивным ощущениям избавляют ученых от блуждания в потемках. Открыв неизвестные тропы и оконтурив новые объекты, математик может вернуться к традиционному доказательству. «Сила математики в точности, — отметил Пайтген. — Она дает нам возможность продолжать ту линию мысли, в которой мы абсолютно уверены. На том стояли и будут стоять математики. Но почему бы не обратить внимания на феномены, которые сейчас могут быть поняты лишь отчасти? Более точное знание о них, возможно, добудут грядущие поколения. Бесспорно, точность важна, но не до такой степени, чтобы отказаться от изучения того, что нельзя доказать сейчас».

К началу 80-х годов персональные компьютеры уже выполняли расчеты достаточно точно, что позволяло строить красочные изображения системы Мандельбро. Многочисленные любители быстро обнаружили, что разглядывание их при максимальном увеличении дает четкое ощущение увеличивающегося масштаба. Сравнивая систему Мандельбро с планетой, можно сказать, что персональный компьютер способен показать всю ее, или элементы размером с города на планете, или детали, соразмерные со зданиями, отдельными комнатами в них, книгами на полках, письмами в ящиках стола, бактериями в воздухе или даже атомами различных веществ. Люди, рассматривая такие картины, замечали, что при любом масштабе обнаруживались схожие образы и одновременно каждый масштаб обладал своими особенностями. Подобные микроскопические ландшафты генерировались одним набором строчек компьютерного кода (*) .