Чтение онлайн

1. 2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ

Задача состоит в том, чтобы по известной последовательности карт в колоде К проверить гипотезу Н о том, что порядок карт в К

0 -- ПРАВИЛЬНЫЙ, то есть К не содержит дубликатов. Если гипотеза Н

0 отвергается, то требуется определить ВЕЛИЧИНЫ СДВИГОВ между экземплярами исходной колоды Х, расположенными в колоде К (и не до конца разрушенными при тасовании -- см. рис. 17).

Для решения этой задачи сформулируем следствие гипотезы Н,

0 допускающее проверку методами математической статистики.

1. 3. РАЗБИЕНИЕ БОЛЬШОЙ КОЛОДЫ

Пусть общее число карт в колоде К равно n и из них m различных. Разобъем колоду К на отрезки ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ:

К = ( К, К,..., К ),

1 2 N где через N обозначено общее количество отрезков разбиения. Пусть каждый из этих отрезков содержит p карт. Разбиение выберем так, чтобы число карт в отрезке разбиения было существенно меньше общего числа карт в колоде К:

p \а<\А n.

1. 4. РАЗНЕСЕНИЕ ПАРЫ КАРТ КАК СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Рассмотрим конечную вероятностную схему равновероятного выбора с возвращением двух карт из колоды К. Это значит, что происходит случайный равновероятный выбор карты в колоде К, эта карта запоминается и возвращается в колоду.

Затем также равновероятно выбирается вторая карта. Результатом выбора является (случайный) протокол, в котором записаны порядковые номера в колоде обеих выбранных карт k, k в

1 2 порядке их выбора.

Определим случайную величину \Вз\А, которую мы назовем РАЗНЕСЕНИЕМ выбранной пары карт. Пусть i и i -- порядковые

1 2 номера отрезков колоды К, в которых содержатся выбранные карты k и k. По определению положим: 1 2

\Вз\А = |i -- i |.

1 2

Таким образом, РАЗНЕСЕНИЕ \Вз\А -- ЭТО АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА РАЗНОСТИ НОМЕРОВ ОТРЕЗКОВ РАЗБИЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ВЫБРАННЫЕ КАРТЫ.

1. 5. ЛОКАЛЬНОЕ ИСКАЖЕНИЕ ЛЕТОПИСИ -- КОЛОДЫ КАРТ

Пусть А -- некоторое событие, определяемое заданной структурой колоды К (то есть порядком карт в ней и ее разбиением на отрезки) и выбранной парой карт. Событие А назовем ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ (локальным условием), если наступление этого события может быть обеспечено заменой карт в одном из отрезков разбиения колоды К (заменой, возможно зависящей от случая). Другими словами, локальное событие -- это такое событие, которое может быть обусловлено ЛОКАЛЬНЫМ ИСКАЖЕНИЕМ колоды К.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Событие А, состоящее в том, что в

0 некотором отрезке разбиения содержатся карты сразу обоих выбранных видов является ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ. В самом деле, изменив две карты, скажем, в первом отрезке разбиения так, чтобы в нем оказались такие же карты, как и выбранные, мы обеспечим наступление события А.

0

Если же говорить об исторических хрониках, МОДЕЛЬЮ КОТОРЫХ является колода карт К, то содержательный смысл понятия "локальное событие" состоит в следующем. Такие события, с одной стороны, могут возникать в итоге сознательных действий хрониста или переписчика, а с другой стороны, для их возникновения не требуется переделки всего текста хроники.

Скажем, в примере с событием А хронист, включивший в

0 какое-то место хроники имена двух персонажей, сделал это на основании своих вполне осознанных представлений о том, что они жили одновременно (или имели сходную судьбу и т. п.) и ему для этого не надо было перекраивать заново весь текст хроники.

В отличие от этого, ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики распределения имен в длинных исторических хрониках, мало чувствительные к их локальным искажениям, НЕ МОГЛИ КОНТРОЛИРОВАТЬСЯ ОТДЕЛЬНЫМИ ХРОНИСТАМИ. Изменение глобальных характеристик могло произойти лишь на заключительном этапе компиляции (согласования) крупных хроник и включения их в единую хронологическую шкалу. Поэтому именно ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики полезны при исследовании "скрытой" структуры летописей.

1. 6. ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗЬ КАРТ В "ПРАВИЛЬНОЙ КОЛОДЕ"

НЕ ВЛИЯЕТ НА ГЛОБАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТАКИХ ЖЕ КАРТ

6. В основе предлагаемой методики лежит следующее интуитивно очевидное утверждение о статистических свойствах ПРАВИЛЬНОГО ПОРЯДКА карт в колоде К.

ГИПОТЕЗА

Если колода К не содержала дубликатов или же ее тасование было достаточно полным и структура дубликатов (коротких идентичных друг другу колод) в ней полностью разрушена, то ЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, НАЛОЖЕННОЕ НА ПАРУ ВЫБРАННЫХ КАРТ, НЕ МОЖЕТ ПОВЛИЯТЬ НА ХАРАКТЕР ГЛОБАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТАКИХ ЖЕ КАРТ ВО ВСЕЙ БОЛЬШОЙ КОЛОДЕ. В частности, локальное условие не должно влиять и на закон распределения случайной величины \Вз\А вне некоторой окрестности нуля, определяемой радиусом затухания взаимной зависимости отрезков разбиения колоды К.

В самом деле, распределение \Вз\А является ГЛОБАЛЬНОЙ характеристикой порядка карт в целом и мало чувствительно к хаотичным локальным изменениям этого парядка.

Это значит, что в случае ПРАВИЛЬНОГО порядка карт в К, условное распределение случайной величины \Вз\А при условии произвольного локального события А должно СОВПАДАТЬ вне некоторой окрестности нуля с безусловным распределением \Вз\А. Иначе говоря, из гипотезы Н вытекает такое следствие:

0

СЛЕДСТВИЕ ГИПОТЕЗЫ H.

0

Пусть А -- некоторое локальное событие, а \Ве\А -- радиус затухания зависимости между отдельными отрезками разбиения колоды К. (В качестве единицы измерения этого радиуса возьмем длину отрезка разбиения. Таким образом \Ве\А -- целое число.) Тогда распределение P{\Вз\А = x|A, \Вз\А \Д>\А \Ве\А} должно совпадать с распределением P{\Вз\А = x|\Вз\А \Д>\А \Ве\А}.

С другой стороны, в случае, когда гипотеза Н неверна и

0 колода К содержит дубликаты, указанные распределения могут очень сильно разниться на всем интервале возможных значений случайной величины \Вз\А (0\Д<\Вз\Д<\АN-1).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Возьмем событие А, определенное выше

0 и предположим, что колода К содержит дубликаты. Тогда для некоторых отрезков разбиения К, такие же как и в К карты будут

i i содержаться также в дубликатах даного отрезка. Таким образом, пары карт, тождественных с некоторыми картами из К, будут

i распределены по колоде К не совсем произвольно. А именно, они будут "собираться" в дискретно расположенной серии дубликатов отрезка К.

i

Значит и разнесение этих пар будет особенно часто принимать значения либо близкие к нулю, либо равные сдвигам между дубликатами этой серии в колоде К. Поскольку условие А

0 существенно ограничивает выбор пар карт -- рассматриваются лишь те, которые (сами или тождественные им) хоть раз попали в один и тот же отрезок разбиения колоды К, -- то описанная ситуация с дубликатами будет довольно типичной для ограниченного таким образом множества пар.

Это изменит распределение случайной величины \Вз\А (по сравнению с ее распределением на множестве всех пар) и заставит ее чаще принимать те значения, которые характерны для расстояний между дубликатами в К. Таким образом, условное распределение \Вз\А при условии А будет существенно отличаться от ее безусловного