Чтение онлайн

Напротив, в нашей области у нас нет необходимости настаивать на ошибках. Когда их делают хорошие математики — что не так редко — они вскоре это замечают и исправляют. Что касается меня (а мой случай — это случай многих математиков), то я их делаю гораздо чаще, чем мои ученики, но я их всегда исправляю так, что не остаётся никакого следа в конечном результате. В самом деле, когда допущена ошибка, то проницательность — та самая научная чувствительность, о которой мы говорили — предупреждает меня, что мои вычисления не имеют того вида, который они должны были бы иметь.

Здесь, однако, имеются известные исключения, касающиеся некоторых деликатных сторон рассуждения; и они могут иногда оказаться более глубокими, чем точные результаты, как, например, недостаточное доказательство «принципа Дирихле» у Римана.

Но в обеих областях, математической и экспериментальной, то, что недостаточно следуют принципу «думать около», является одной из наиболее обычных причин неудачи — когда не находят решения, которое мог бы найти более вдумчивый мыслитель, — неудачи, которая для психологии, по меньшей мере, столь же интересна, сколь и открытие.

Этим, в частности, объясняются неудачи, которые можно назвать «парадоксальными», — когда мыслитель не замечает непосредственного и важного следствия своих собственных выводов.

Естественно, мы должны подчеркнуть, что речь идёт лишь о непосредственных и очевидных следствиях. Если же тот, кто сделал открытие, узнает, что из его открытия кто-то другой нашёл важное следствие, требующее определённого усилия, он станет это рассматривать не как неудачу, а как успех: он имеет право сказать, что есть и его вклад в это новое открытие.

На коллоквиуме, о котором мы уже упоминали, Клапаред рассказал о ряде парадоксальных промахов, и, по-моему, они должны быть объяснены так, как мы только что об этом говорили. Наиболее поразительный случай, который он приводил, касается изобретения офтальмоскопа. Физиолог Брюкке искал средство для освещения глазного дна, что ему и удалось сделать. Но лишь Гельмгольцу, подготавливавшему доклад о результате Брюкке, пришла идея о том, что оптические изображения могут быть порождены лучами, отражёнными таким же образом от сетчатки, — идея почти очевидная, так что казалось, что Брюкке не мог её не заметить. Мне кажется очевидным, что в данном случае мысль Брюкке была слишком сильно сконцентрирована на его проблеме.

Клапаред рассказывает также о том, как де ля Рив не заметил метода гальванопластики, а Фрейд прошёл мимо применения кокаина для хирургии глаза.

Личные случаи

Каждый автор может, вероятно, рассказать об аналогичных своих неудачах. Что касается меня, то я несколько раз не видел результатов, из-за, должно быть, какого-то ослепления, так как они были непосредственными следствиями результатов, которые я получил. Причина большинства таких промахов всё та же, а именно, слишком концентрированное внимание.

Первый случай, который я вспоминаю из своей жизни, касался формулы, которую я получил в самом начале моей исследовательской работы; я решил её не публиковать и добиться вывода из неё важных следствий. В это время все мои мысли, как и мысли многих аналитиков, были прикованы к единственному вопросу: доказательству знаменитой «теоремы Пикара». Полученная мною формула давала совершенно очевидно один из результатов, который я открыл четырьмя годами позднее гораздо более сложным путём; и я не отдавал себе в этом отчёта, пока через много лет Иенсен не опубликовал эту формулу и не отметил, как её непосредственное следствие, результаты, которые я, к счастью для моего самолюбия, уже получил в этот промежуток времени. Ясно, что в 1888 г. я думал исключительно о теореме Пикара.

Следующая моя работа была моей диссертацией. Две теоремы, важные для темы[47], были такими очевидными и непосредственными следствиями идей, содержавшихся в работе, что позднее другие авторы мне их приписывали, и я был вынужден признаваться, что как бы очевидны они ни были, я их не видел.

Несколькими годами позднее я занимался обобщением на гиперповерхности классического понятия кривизны поверхности. Мне нужно было определить понятие кривизны поверхности в гиперпространствах Римана, — обобщение более элементарного понятия кривизны поверхности в обычном пространстве. Мне хотелось получить эту кривизну Римана как кривизну некоторой поверхности S, проведённой в рассматриваемом гиперпространстве, причём форма этой поверхности выбрана таким образом, чтобы кривизна оказалась минимальной. Я сумел показать, что полученный таким образом минимум был в точности выражением Римана; но, думая над этим вопросом, я не обратил внимания на обстоятельства, при которых достигается этот минимум, т. е. на то, как для достижения этого минимума построить S. Изучение этого вопроса привело бы меня к принципу «абсолютного дифференциального исчисления», открытие которого принадлежит Риччи и Леви-Чивиту.

Абсолютное дифференциальное исчисление находится в тесной связи с теорией относительности; и по этому поводу я должен признаться, что, увидев, что уравнение распространения света инвариантно относительно некоторой группы преобразований (известных теперь под названием преобразований Лоренца), в которую входят пространство и время, я прибавил, что «такие преобразования явно лишены физического смысла». А эти преобразования, которые я счёл лишёнными физического смысла, составляют основу теории Эйнштейна!

Продолжая разговор о моих промахах, я отмечу ещё один, о котором я особенно сожалею: речь идёт о знаменитой задаче Дирихле, которую я в течение многих лет пытался решать тем же методом, который избрал Фредгольм, а именно, сводя её к системе с бесконечным числом уравнений первой степени с бесконечным числом неизвестных. Но физическая интерпретация, гид, вообще говоря, очень верный и часто мне помогавший, на этот раз сбила меня с пути. Она мне подсказывала необходимость искать решение проблемы, используя «потенциал простого слоя», что в этом случае было тупиком, в то время как надо было искать решение, вводя «потенциал двойного слоя». Это показывает, насколько справедлива фраза Клода Бернара, цитированная выше: не надо слишком упорно следовать определённому принципу, каким бы плодотворным и справедливым он, вообще говоря, ни был.

Как мы видим, во всех этих примерах причина промаха в своей основе одна и та же. Обратное произошло, когда я однажды не заметил, что одна из задач «аналлагматической геометрии» могла быть неопределённой, что привело к интересным свойствам, открытым Андре Блоком[48]. На этот раз я не следовал строго выбранному первоначально направлению, что привело бы меня к более глубокому исследованию решённой задачи и, следовательно, к тому, чтобы отметить её возможную неопределённость. Этот случай в точности противоположен предыдущим: я был недостаточно верен своей основной идее.

Я должен закончить перечисление этих промахов случаем, который я совершенно не могу объяснить: каким образом, найдя метод для построения условий разрешимости задачи из теории уравнений в частных производных[49], который очень сложным и запутанным образом приводил к искомому результату, я не увидел в моих собственных вычислениях деталь, которая освещала всю задачу, и оставил это открытие более счастливым и вдумчивым последователям? Это мне трудно постичь.

Случай Паскаля