Чтение онлайн

Личные наблюдения

Случай исследовательской работы является, естественно, совершенно иным, поэтому я хотел понять, что же происходит в моём уме, когда я начинаю строить или понимать математическое рассуждение (я сказал вначале, что существенной разницы между этими двумя вещами нет).

Я утверждаю, что слова полностью отсутствуют в моём уме, когда я действительно думаю, и что я полностью отождествил бы свой случай и случай Гальтона в том смысле, что когда я услышу или прочитаю вопрос, все слова исчезают точно в тот момент, когда я начинаю думать; слова появляются в моём сознании[73] только после того, как я окончу или заброшу исследование, точно так же, как и у Гальтона, и я полностью согласен с Шопенгауэром, когда он пишет: «Мысли умирают в тот момент, когда они воплощаются в слова».

Я думаю, что существенно также подчеркнуть, что я веду себя так не только по отношению к словам, но и по отношению к алгебраическим знакам. Я их использую, когда я делаю простые вычисления; но каждый раз, когда вопрос кажется более трудным, они становятся для меня слишком тяжёлым багажом: я использую в таком случае конкретные представления, но они совершенно другой природы.

Пример такого типа известен в истории науки, он был дан Эйлером, чтобы объяснить шведской[74] принцессе свойства силлогизмов. Эйлер представляет общие идеи кругами; если мы должны думать о двух категориях вещей A и B так, что каждая вещь A есть B, мы представляем себе круг A внутри круга B. Если, напротив, никакой элемент A не B, мы представляем себе круг A целиком вне круга B; если же, наконец, лишь некоторые элементы A суть B, то два круга должны пересекаться.

Итак, если я должен думать о каком-нибудь силлогизме, я о нём думаю не словами — слова мне не позволили бы понять, правилен ли силлогизм или ложен, — а с помощью интерпретации, аналогичной интерпретации Эйлера, пользуясь, однако, не кругами, а какими-то пятнами неопределённой формы, так как для того, чтобы представлять себе эти пятна находящимися одно внутри или вне другого, я не должен их видеть имеющими строго определённую форму.

Чтобы рассмотреть несколько менее тривиальный случай, возьмём элементарное и хорошо известное доказательство теоремы: «Последовательность простых чисел не ограничена». Я повторю последовательные этапы классического доказательства этой теоремы, записывая рядом с каждым из них соответствующий образ, возникающий в моём мозгу. Например, нам нужно доказать, что существует простое число, большее 11:

Этапы доказательства

Мои умственные образы

Я рассматриваю все простые числа от 2 до 11, то есть 2, 3, 5, 7, 11.

Я вижу неопределённую массу.

Я образую их произведение 2·3·5·7·11 = N.

Так как N — число достаточно большое, я представляю себе точку, достаточно далеко удалённую от этой массы.

Я прибавляю к этому произведению 1 и получаю N+1.

Я вижу вторую точку, недалеко от первой.

Это число, если не является простым, должно иметь простой делитель, который и является искомым.

Я вижу некоторое место, расположенное между неопределённой массой и первой точкой.

Какая может быть польза от такого странного и неопределённого представления? Оно, конечно, не используется здесь для того, чтобы напомнить мне какое-нибудь свойство делимости, так как всякая информация, данная таким образом, могла бы оказаться неточной и сбить меня с пути. Этот механизм удовлетворяет, таким образом, условию б), поставленному выше. Наоборот, это условие лишь частично выполняется при гипотезе Бинэ: уточнять бессознательные идеи всегда связано с риском их исказить.

Но в то же время можно легко понять, почему мне мог быть необходим механизм такого типа для понимания доказательства, приведённого выше. Он мне необходим для того, чтобы единым взглядом охватить все элементы рассуждения, чтобы их объединить в одно целое — наконец, чтобы достичь того синтеза, о котором мы говорили в начале этой главы, и чтобы придать проблеме своё лицо. Этот механизм не раскрывает мне ни одного звена в цепи рассуждения (т. е. не содержит никаких свойств делимости или простых чисел), но он мне напоминает о том, как эти звенья должны быть соединены. Если мы ещё раз обратимся к сравнению Пуанкаре, то скажем, что это представление необходимо для того, чтобы не потерять уже полученные полезные комбинации.

Фактически всякое математическое исследование принуждает меня строить аналогичную схему, которая всегда носит и должна носить неопределённый характер, чтобы не сбить с пути. Я приведу менее элементарный пример, взятый из моих ранних исследований (моя диссертация): я должен был рассмотреть сумму бесконечного числа слагаемых и оценить порядок её величины. Итак, когда я обдумываю этот вопрос, я вижу не собственно формулу, а место, которое она бы занимала, если бы её написали: нечто вроде ленты, более широкой или более тёмной в местах, соответствующих членам, которые могут оказаться существенными, или же я вижу нечто вроде формулы, прочесть которую, однако, невозможно, как будто бы я смотрю без очков (у меня сильная дальнозоркость), причём в этой формуле буквы немного более отчётливы в местах, которые предполагаются более важными (хотя их также невозможно прочесть).

Друзья мне говорили, что у меня был особый взгляд, когда я занимался математическими исследованиями. Я не сомневаюсь, что это явление сопровождает, прежде всего, построение требуемой схемы.

Сказанное имеет отношение к вопросу об умственной усталости. Я спросил у нескольких известных психологов, и в частности у Луи Лапика, каким образом умственная работа может вызывать утомление, хотя никакая «работа» (в том смысле, какой физик придаёт этому слову) при этом, видимо, не производится. Мнение Лапика в то время было таково, что умственная работа может быть сравнена лишь с процессом переворачивания страниц книги. Итак, умственная работа существует; с объективной и физиологической точек зрения она была изучена в важной книге Бинэ и Виктора Анри; с тех пор по этому вопросу должен был быть достигнут большой прогресс, за которым я не уследил. С психологической точки зрения можно с уверенностью утверждать, что усталость определяется синтезирующим усилием (как мы это видели у Родена) в смысле придания исследованию единства и, следовательно, по крайней мере в моём случае, усилие расходуется на то, чтобы выработать соответствующую схему.

Можно добавить несколько замечаний.

Если бы я использовал чёрную доску и написал бы выражение 2·3·5·7·11, то схема, описанная выше, исчезла бы из моего рассудка, так как стала бы, очевидно, бесполезной и была бы автоматически заменена формулой, которую я имел бы перед глазами.

Должен заметить, что я принадлежу полностью к слуховому типу[75], и именно поэтому мои умственные представления являются исключительно визуальными. Причина этого для меня совершенно ясна: визуальные представления этого вида являются, естественно, более неопределёнными, и мы видели, что это является необходимым условием для того, чтобы руководить моим сознанием, не сбивая на ложный путь.

Я добавлю также, что случай, который мы только что исследовали, касается, прежде всего, изучения теории чисел, алгебры или анализа. Когда я занимаюсь геометрическими исследованиями, мне представляете обычно вид самой фигуры, хотя и в неадекватной или неполной форме; это представление позволяет мне, однако, осуществить необходимый синтез — тенденция, которая, как мне кажется, является результатом тренировки, полученной в раннем детстве.

Как бы это ни казалось парадоксальным, но очень часто для решения этих геометрических задач я успешно использую процесс, совершенно противоположный синтезу, о котором я говорил выше. Случается, что я выделяю отдельную часть фигуры и рассматриваю её независимо от остального; это рассмотрение приводит меня к «результату-эстафете». Тем не менее, общее рассуждение даже в этом случае ощущается как единое целое, как синтез, в который включается и промежуточный результат, если он существует. Этот процесс, как утверждает Пьер Бутру[76], ссылаясь на Декарта, часто применялся в греческой геометрии.

Взаимоотношения полного и краевого сознания

Наблюдения, которые мы только что сделали, касаются функционирования мысли, когда она интенсивно концентрируется, идёт ли речь о полностью сознательной работе или о подготовительной сознательной работе. Но, как мы это заметили в конце гл. II, та же самая концентрация позволяет нам различать полное сознание и сознание краевое; это различие достаточно трудно уловить при других обстоятельствах, но в этом случае оно относительно легко поддаётся наблюдению.