Чтение онлайн

Различие между равномерными и переменными движениями стало известно людям уже давно. Но это было лишь наглядное, чувственное значение, не осмысленное в понятиях. Существовавший во времена Аристотеля чувственно-непосредственный способ сопоставления движений, когда время фиксировалось как равное, а сравнивались одни лишь отрезки пройденного телами пути, не позволял выявить различие между равномерными и переменными движениями в виде понятия. Действительно, такой способ сопоставления выделял в движениях лишь одно их свойство — величину перемещения за определенное время, — оставляя другие свойства в стороне. Он нивелировал все движения, сводя их, по существу, к равномерным. Ведь путь как показатель движения безразличен к характеру самого движения; по нему нельзя заключить, как пройдено расстояние, с равномерной скоростью или нет.

Поэтому, сравнивая движения тел по пройденным ими расстояниям, мы фактически «превращаем» эти движения на рассматриваемом отрезке пути в равномерные, и ничто при этом не наталкивает на мысль о неправомерности этого преобразования. Ограничиваясь однократным сопоставлением исследуемых движений, мы исходим из неосознанной предпосылки, что результаты сопоставления, проведенного в какой-то промежуток времени и на каком-то отрезке пути, могут быть распространены на движение в целом; мы исходим из того, что если тело А на сравниваемом отрезке s имело большую скорость, чем тело В на этом же отрезке, то оно и на следующем отрезке пути будет иметь большую скорость, а это справедливо лишь для равномерных движений. Здесь существующий способ сопоставления движений определял границы выявляемого содержания.

Таким образом, хотя в представлении древних понятие скорости было результатом и средством сопоставления движений вообще, независимо от их характера, по содержанию и по своему строению оно служило адекватным отражением только равномерных движений. Поэтому когда Галилей приступил к исследованию ускоренных движений, используя для этого понятие скорости, выраженное в формуле (3), то это привело его к логическому противоречию (антиномии). Так как часы, находившиеся в его распоряжении, несмотря на все произведенные усовершенствования, были все еще малопригодны для измерения небольших промежутков

Конец страницы 583

Начало страницы 584

времени, Галилей решил замедлить исследуемые движения падения с помощью наклонных плоскостей, а это, в свою очередь, заставило его сопоставить между собой падение тел по вертикали и по наклонным. Согласно определениям Аристотеля, из двух движущихся тел то имеет большую скорость, которое проходит за одно и то же время большее пространство, чем другое, или то же пространство, но в меньшее время. Соответственно считалось, что два движущихся тела обладают одинаковой скоростью, если они проходят равные пространства в равные промежутки времени.

Галилея эти определения уже не удовлетворяли. Выработанный им способ измерения времени позволил представить понятие скорости в виде математического отношения величин пути и времени. С этой новой точки зрения ничего не изменится, если назвать скорости равными и тогда, «когда пройденные пространства находятся в таком же отношении, как и времена, в течение которых они пройдены...» [Галилей,1948, с. 34]. Поскольку Галилей уже «подвел» понятие скорости под более широкое понятие математического отношения, сделанный им переход был вполне законен. Равенство отношений s1/t1 = s2/t2 , как при s1 = s2, так и при s1 /= s2, остается справедливым, если t1 и t2 меняются в той же пропорции, что и пути.

Итак, имеется два определения равенства скоростей двух движущихся тел.

Первое: скорости двух тел равны, если за равные промежутки времени эти тела проходят равные пространства.

Второе: скорости двух тел равны, если пространства, проходимые одним и другим, пропорциональны временам прохождения.

Второе определение является обобщением первого, первое вытекает из второго и должно быть справедливым, если справедливо второе. Имея эти два определения, Галилей приступил к сопоставлению конкретных случаев падения тел. Пусть по СВ и СА (см. схему) падают два одинаковых тела. Скорость тела, падающего по СВ, будет больше скорости тела, падающего по СА, ибо, как показывает опыт, в течение того времени, за которое первое падающее тело пройдет весь отрезок СВ, второе пройдет по наклонной СА часть CD, которая будет меньше СВ. Отсюда, в соответствии с первым определением, можно сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, не равны.

В то же время известное Галилею положение о том, что скорость падающих тел в какой-либо точке зависит только от высоты их падения, наводит его на мысль, что раз скорости тел в точках А и В, расположенных на одной горизонтали, равны, то они должны быть и вообще равны на

Конец страницы 584

Начало страницы 585

отрезках СА и СВ. Он проверяет это предположение на опыте, и действительно оказывается, что отношение времен падения по всей наклонной и по всей вертикали равно отношению длин наклонной и вертикали. Отсюда в соответствии со вторым определением можно сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, равны.

Таким образом, следуя рассуждению Галилея, мы получили два противоречащих положения:

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».

Причину выявленного Галилеем противоречия нельзя искать в произведенном им обобщении условий равенства скоростей. Если бы мы, пользуясь старым условием равенства скоростей, начали сопоставлять движения шаров по СА и СВ, беря отрезки проходимого пути в разных частях СА и СВ, то мы получили бы и при старом определении весьма противоречивые результаты. Скорость падения шара по СВ могла оказаться в одном месте больше скорости падения шара по СА, в другом — равной, в третьем — меньшей. Таким образом, рассмотренное развитие понятия скорости и обобщение условий равенства скоростей не являлись причиной противоречия, а были лишь случайными обстоятельствами, которые облегчили его обнаружение.

Причина этого противоречия заключена в том, что понятие скорости, сложившееся из сопоставления равномерных движений и однозначно характеризовавшее эти движения, уже не подходит для сопоставления и однозначной характеристики движений неравномерных.

Подобные логические противоречия, или антиномии, можно часто встретить в истории науки. Оба положения такого противоречия в равной мере истинны и неистинны. Истинны в том смысле, что они оба действительны, если мы исходим из существовавшего в то время определенного строения исходного понятия. Неистинны в том смысле, что это строение понятия уже не может дать однозначной характеристики новых исследуемых явлений.

Выявление подобного противоречия наталкивает исследователя на мысль, что он не учел в понятии какого-то обстоятельства, какого-то свойства исследуемого явления и заставляет искать это обстоятельство или свойство, а затем в соответствии с ним менять всю систему понятий, относящихся к исследуемой области явлений.

Часто противоречие разрешается тем, что рассматриваемое понятие подводится под новое, более общее или более узкое понятие и рассматривается с точки зрения признаков последнего. Так поступает и Галилей. Сначала он рассматривал скорость как величину или, точнее, как математическое отношение, а после выявления противоречия, стремясь объяснить его и «снять», он начинает рассматривать скорость как

Конец страницы 585

Начало страницы 586

переменную величину или переменное математическое отношение. Это было облегчено тем, что представление о переменных величинах к тому времени уже сформировалось (см., например, [Гуковский, 1947, с. 177-180, 469-474; Hall, 1954, с. 80-85]).

Галилей ставит вопрос о законе изменения этой величины в случае свободного падения тел на землю и предполагает, что оно происходит по «простому» закону v = аt, подобному закону изменения пути в равномерном движении, и таким образом находит новую величину (a — ускорение), однозначно характеризующую свободное падение тел. Закон, связывающий движение свободно падающего тела с движением эталона (стрелка часов), принимает вид: