Чтение онлайн

Глава I О ПРИНЦИПЕ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Среди явлений, наблюдаемых в солнечной системе, эллиптическое движение планет и комет кажется наиболее пригодным, чтобы привести нас к общему закону сил, которые ими движут. Наблюдения показали нам, что площади, описываемые вокруг Солнца радиусами-векторами планет и комет, пропорциональны времени; а в предыдущей книге мы видели, что для этого нужно, чтобы сила, отклоняющая непрерывно каждое из этих тел от прямого пути, была направлена постоянно к началу радиусов-векторов, и, следовательно, стремление планет и комет к Солнцу является необходимым следствием пропорциональности площадей и времени, затраченному на описание их радиусами-векторами.

Чтобы определить закон этого стремления, предположим, что планеты движутся по круговым орбитам; это мало отличается от истины. Тогда квадраты их истинных скоростей пропорциональны квадратам радиусов этих орбит, разделённым на квадраты времени обращения. Но, по законам Кеплера, квадраты этих скоростей относятся между собой как кубы тех же радиусов. Поэтому квадраты скоростей обратно пропорциональны этим радиусам. Раньше мы видели, что центробежные силы многих тел, движущихся по окружностям, относятся между собой как квадраты скоростей, разделённые на радиусы описанных окружностей. Поэтому стремление планет к Солнцу обратно пропорционально квадратам радиусов их орбит, предполагаемых круговыми. Эта гипотеза, правда, не вполне строга, но, поскольку постоянное отношение квадратов времён обращения планет к кубам больших осей их орбит не зависит от эксцентриситета, естественно думать, что оно существует и в случае круговых орбит. Таким образом, закон, по которому тела притягиваются к Солнцу обратно пропорционально квадратам расстояний от него, ясно указывается этим отношением.

Аналогия заставляет нас считать, что этот закон, распространяющийся на все планеты, в равной степени имеет место и для одной и той же планеты на её разных удалениях от Солнца. Её эллиптическое движение не оставляет никаких сомнений в этом отношении. Для доказательства проследим это движение, начиная от выхода планеты из перигелия. В это время её скорость максимальна, и она стремится удалиться от Солнца, преодолевая силу его тяготения; её радиус-вектор увеличивается и образует с направлением её движения тупые углы. Сила тяготения, направленная к Солнцу и разложенная по этому направлению, всё более и более уменьшает скорость планеты, пока она не достигнет афелия. В этой точке радиус-вектор снова становится перпендикулярным к кривой, скорость минимальна, и, так как стремление удалиться от Солнца меньше, чем сила его притяжения, планета к нему приближается, описывая вторую половину своего эллипса. На этой части пути сила тяготения к Солнцу увеличивает её скорость, в то время как раньше она её уменьшала. Планета приходит в перигелий со своей первоначальной скоростью и начинает второе обращение, подобное первому. Поскольку в перигелии и в афелии кривизна эллипса одинакова, оскулирующие радиусы одинаковы, следовательно, и центробежные силы в этих двух точках относятся как квадраты скоростей. Так как секторы, описанные в одинаковые элементы времени, равны, скорости в перигелии и в афелии обратно пропорциональны соответствующим расстояниям планеты от Солнца. Поэтому квадраты этих скоростей обратно пропорциональны квадратам тех же расстояний, а так как в перигелии и в афелии центробежные силы в оскулирующих окружностях, очевидно, равны, силе тяготения планеты к Солнцу, эти силы тяготения обратно пропорциональны квадратам расстояний до этого светила.

Таким образом, теоремы Гюйгенса о центробежной силе были достаточны, чтобы узнать закон, описывающий стремление планет к Солнцу, так как очень вероятно, что закон, действительный для всех планет и подтверждающийся для каждой из них в перигелии и в афелии, распространяется на все точки планетных орбит и вообще на все расстояния от Солнца. Но чтобы установить его совершенно неопровержимым образом, было необходимо получить выражение силы, которая, будучи направленной в фокус эллипса, заставляла бы тело описывать эту кривую. Ньютон нашёл, что, действительно, эта сила обратно пропорциональна квадрату радиуса-вектора. Надо было ещё показать, что сила тяготения к Солнцу не изменяется от одной планеты к другой иначе, чем в зависимости от расстояния до этого светила. Этот великий геометр показал, что это следует из закона пропорциональности квадратов времён обращения кубам больших осей орбит. Если предположить, что все планеты находятся в покое на одинаковых расстояниях от Солнца и предоставлены силам тяготения, направленным к его центру, они бы опустились за равное время на равные расстояния. Этот результат следует распространить и на кометы, хотя большие оси их орбит и неизвестны, так как во второй книге было показано, что величины площадей, описанных их радиусами-векторами, подчинены действию закона пропорциональности квадратов времён их обращения кубам этих осей.

Анализ, который в своих обобщениях охватывает всё, что может вытекать из данного закона, показывает нам, что не только эллипс, но и все конические сечения могут быть описаны под влиянием силы, удерживающей планеты на своих орбитах. Поэтому комета может двигаться по гиперболе. Но тогда она была бы видимой только один раз и после появления удалилась бы за пределы солнечной системы, а затем приблизилась бы к новым солнцам, чтобы снова удалиться от них, пробегая различные системы, рассеянные в необъятности небес. Имея в виду бесконечное разнообразие природы, весьма вероятно, что существуют и такие светила. Их появление должно быть очень редким, и мы гораздо чаще наблюдаем кометы, движущиеся по замкнутым орбитам и возвращающиеся через более или менее продолжительное время в области неба, близкие к Солнцу.

Спутники испытывают такое же стремление к этому огромному телу, как и планеты. Если бы Луна не была подвержена его действию, то вместо того чтобы описывать почти круговую орбиту вокруг Земли, она скоро кончила бы тем, что покинула бы её. И если бы этот спутник, а также и спутники Юпитера, не увлекались Солнцем, следуя тем же законам, что и планеты, в их движениях появились бы значительные неравенства, которых наблюдение не обнаруживает. Итак, планеты, спутники и кометы — все подчинены одному закону тяготения к этому светилу. Одновременно с тем, как спутники движутся вокруг своих планет, вся система планеты и её спутников увлекается общим движением в пространстве и удерживается той же силой в своём движении вокруг Солнца. Таким образом, относительное движение планеты и её спутников почти таково, как если бы планета находилась в покое и не испытывала никакого внешнего воздействия.

Итак, не прибегая к какой-либо гипотезе, а только через неизбежные следствия законов небесных движений, мы приходим к заключению, что центр Солнца является источником силы, которая, распространяясь безгранично в пространстве, уменьшается пропорционально квадрату расстояний и, в соответствии с этим законом, притягивает все тела. Каждый из законов Кеплера раскрывает нам свойства этой притягательной силы: закон площадей, пропорциональных времени, показывает нам, что она постоянно направлена к центру Солнца; эллиптическая форма планетных орбит доказывает, что эта сила уменьшается пропорционально квадрату расстояния; наконец, закон пропорциональности квадратов времён обращения кубам больших осей орбит показывает, что сила тяготения всех тел к Солнцу одинакова на равных расстояниях от него. Мы назовём эту силу тяготения солнечным притяжением, потому что, не зная её причины, мы можем, прибегнув к приёму, часто применяемому геометрами, предположить, что эта сила происходит от притягательной способности, заключённой в Солнце.

Погрешности, которым подвержены наблюдения, и небольшие отклонения планет от эллиптического движения оставляют некоторую неуверенность в результатах, извлечённых из законов этого движения; и можно было бы сомневаться в том, что солнечное притяжение действительно уменьшается в точности обратно пропорционально квадратам расстояний. Но как бы мало оно ни отклонялось от этого закона, это отличие было бы очень заметно в движениях перигелиев планетных орбит. Перигелий земной орбиты имел бы годичное движение, равное 200сс [64."8], если бы степень расстояния, которому солнечная сила притяжения обратно пропорциональна, увеличилась только на 1/10000. Но это движение, согласно наблюдениям, равно всего лишь З6.сс4 [11."8], и мы увидим в дальнейшем его причину. Закон обратной пропорциональности силы тяготения квадрату расстояния, по крайней мере, исключительно близок к истине, и его большая простота побуждает нас применять его, если наблюдения не потребуют от него отказаться. Конечно, не надо измерять простоту законов природы той лёгкостью, с которой мы их воспринимаем. Но, когда те из них, которые кажутся нам самыми простыми, вполне согласуются со всеми явлениями, мы имеем все основания рассматривать их как точные.

Притяжение спутников к центрам своих планет есть необходимый результат пропорциональности площадей, описанных их радиусами-векторами, затраченному на это времени, и закон уменьшения притяжения пропорционально квадратам расстояний доказывается эллиптичностью их орбит. Эта эллиптичность мало заметна в орбитах спутников Юпитера, Сатурна и Урана, что затрудняет определение закона, по которому уменьшаются силы притяжения, по движению каждого спутника в отдельности, но постоянное отношение квадратов времён их обращения к кубам больших осей их орбит убедительно указывает, что у каждого спутника сила притяжения к планете обратно пропорциональна квадрату расстояния до её центра.

Это доказательство неприменимо для Земли, имеющей лишь одного спутника, но его можно заменить следующими соображениями.

Сила тяжести простирается до вершин самых высоких гор, и незначительность изменения, которое она при этом претерпевает, не позволяет сомневаться в том, что на гораздо больших высотах её действие всё ещё будет ощутимо. Не естественно ли поэтому распространить его до Луны и полагать, что это светило удерживается на своей орбите тяготением к Земле, так же как планеты удерживаются на своих орбитах солнечным притяжением? В самом деле, эти две силы, по-видимому, одной природы: и та и другая проникают во внутренние части материи и, если их массы одинаковы, наделяют их одинаковыми скоростями. Мы уже видели, что сила солнечного притяжения действует одинаково на все тела, расположенные на равных расстояниях от Солнца, так же как земная сила тяготения заставляет их падать в пустоте с одинаковых высот с равными скоростями. Тело, с силой брошенное горизонтально с большой высоты, падает на Землю в отдалении, описав параболическую кривую. Если бы скорость его полёта была около 7000 м в секунду и не погашалась сопротивлением атмосферы, оно не упало бы и продолжало обращаться как спутник вокруг Земли, так как его центробежная сила в этом случае была бы равна силе тяготения. Чтобы из этого тела сделать вторую Луну, достаточно поднять его на такую же высоту, как и это светило, и сообщить ему такое же движение полёта.

Но завершает доказательство тождественности стремления Луны к Земле и силы тяжести то, что для получения этого стремления достаточно, чтобы сила земного притяжения уменьшалась, следуя общим законам сил тяготения небесных тел. Рассмотрим некоторые детали, соответствующие важности рассматриваемого предмета.

Сила, непрерывно отклоняющая Луну от касательной к её орбите, заставляет её пробегать за одну секунду расстояние, равное синусу-верзусу дуги, которую она описывает за это же время, поскольку этот синус представляет расстояние, на которое Луна в конце секунды удалилась от своего начального направления. Его можно определить по расстоянию Луны от Земли, которое лунный параллакс даёт в долях земного радиуса. Но чтобы получить результат, независимый от неравенств лунного движения, надо за её средний параллакс взять часть параллакса, независящую от этих неравенств и соответствующую большой полуоси лунного эллипса. Из совокупности большого числа наблюдений лунного параллакса Бюрг определил, что эта его часть равна 10 541сс [3415"] на параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3. Мы выбрали эту параллель, так как притяжение Земли в соответствующих точках её поверхности, так же как и на расстоянии радиуса лунной орбиты, равно массе Земли, разделённой на квадрат расстояния до её центра тяжести. Радиус, проведённый из любой точки этой параллели в центр тяжести Земли, равен 6 369 809 м. Отсюда легко заключить, что сила, притягивающая Луну к Земле, заставляет её падать за одну секунду на 0.00101728 м. В дальнейшем мы увидим, что действие Солнца уменьшает лунное притяжение на 1/358 часть. Поэтому надо увеличить на 1/358 упомянутую выше высоту, чтобы сделать её независимой от действия Солнца, и тогда она становится равной 0.00102012 м. Но Луна в своём относительном движении вокруг Земли подвержена действию силы, равной сумме масс Земли и Луны, разделённой на квадрат расстояния между ними. Таким образом, чтобы получить расстояние, при котором Луна упала бы за одну секунду под влиянием только одного земного притяжения, надо умножить предыдущее расстояние на отношение массы Земли к сумме масс Земли и Луны. Из совокупности явлений, зависящих от действия Луны, мною было получено, что её масса равна 1/75 массы Земли. Итак, умножив приведённое выше расстояние на 75/76, мы получим 0.0010067 м — высоту, с которой земное притяжение заставляет падать Луну за одну секунду.