Чтение онлайн

Подобную систему, позволяющую выражать громадныя количества, встрчаемъ мы въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ (XVI—ХVІІ в. по Р. X.). Она носитъ названіе «числа великаго словенскаго» и представляетъ изъ себя нумерацію, развитую подробно, остроумно и своеобразно. Не безъ вліянія на эту нумерацію осталась польская ученость, которая во времена, предшествовавшія Петру Великому, питала и растила зачатки русской образованности, въ особенности же въ свтской ея части; польская наука заимствовала, въ свою очередь, все содержаніе и силу изъ Западной Европы, Европа у арабовъ, арабы многому научились у индусовъ. Вотъ какая длинная цпь переходовъ и ступеней нужна была для того, чтобы ариметическія знанія индусовъ сдлались собственностью русскихъ. И времени для этого потребовалось не мало, — цлыя столтія: что въ Индіи извстно было вскор по Р. X., то къ намъ въ Россію прибыло едва въ 17 столтіи. Вотъ таблица «числа великаго словенскаго», употреблявшаяся въ томъ случа, «коли прилучался великій счетъ и перечень», и содержавшая въ себ 50 счетныхъ единицъ: 1) единъ, 2) десять, 3) сто, 4) едина тысяча, 5) десять тысячъ, 6) сто тысячъ, 7) едина тьма, 8) десять темъ, 9) сто темъ, 10) тысяча темъ, 11) десять тысячъ темъ, 12) сто тысячъ темъ, 13) единъ легіонъ, 14) десять легіоновъ, 15) сто легіоновъ, 16) тысяча легiоновъ, 17) десять тысячъ легіоновъ, 18) сто тысячъ легіоновъ, 19) тьма легіоновъ, 20) десять темъ легіоновъ, 21) сто темъ легіоновъ, 22) тысяча темъ легіоновъ, 23) десять тысячъ темъ легіоновъ, 24) сто тысячъ темъ легіоновъ, 25) единъ леодръ, 26) десять леодровъ, 27) сто леодровъ, 28) тысяча леодровъ, 29) десять тысячъ леодровъ, 30) сто тысячъ леодровъ, 31) тьма леодровъ, 32) десять темъ леодровъ, 33) сто темъ леодровъ, 34) тысяча темъ леодровъ, 35) десять тысячъ темъ леодровъ, 36) сто тысячъ темъ леодровъ, 37) единъ легіонъ леодровъ, 38) десять легіоновъ леодровъ, 39) сто легіоновъ леодровъ, 40) тысяча легіоновъ леодровъ, 41) десять тысячъ легіоновъ леодровъ, 42) сто тысячъ легіоновъ леодровъ, 43) тьма легіоновъ леодровъ, 44) десять темъ легіоновъ леодровъ, 45) сто темъ легіоновъ леодровъ, 46) тысяча темъ легіоновъ леодровъ, 47) десять тысячъ темъ легіоновъ леодровъ, 48) сто тысячъ темъ легіоновъ леодровъ. 49) вранъ, 50) колода. «Сего числа нсть больши», прибавляютъ рукописи въ заключеніе.

Кром того, у русскихъ ХVІ—ХVІІ вка по Р. X. была еще другая система счета, такъ сказать, обиходная, будничиая. Это — «малое число». По этой систем единицами счета являются: единица простая, десятокъ, сотня, тысяча, тьма=10 000, легіонъ=100 000 и леодръ =100 000. [2]

Замчательно, что и средневковые китайскіе ученые доводятъ нумерацію до 53-го разряда. И совпаденіе предла, и нкоторые другіе историческіе факты приводятъ къ вроятному предположенію, что не всегда Китай былъ такь уединенно замкнутъ, какъ въ наши времена, и что индусская ученость, въ пору расцвта своей силы, т.-е. лтъ тысячу тому назадъ, проникла и къ китайцамъ и проявила свое дйствіе тамъ.

Чтобы закончить выясненіе предла чиселъ, мы остановимся еще немного на преданіи о той наград, которую изобртатель шахматной игры пожелалъ получить отъ шаха Шерама. Это преданіе свидтельствуетъ опять таки о склонности индусовъ къ громаднымъ вычисленіямъ. Гласитъ оно слдующее. Шахъ Шерамъ такъ былъ восхищенъ только что изобртенной шахматной игрой, что предложилъ изобртателю назначить самому себ награду. Тотъ и назначилъ:

Клтокъ въ доск 64. Шахъ поспшилъ согласиться, но когда стали высчитывать количество зеренъ, то оказалось, что получается нчто необъятное, и что столько зеренъ нечего и думать набрать, хотя бы начать собирать ихъ со всей земли. Отвтъ такой: 18 446 744 073 709 551 615.

Всякій отдльный человкъ и всякій отдльный народъ на первыхъ ступеняхъ своего развитія бываетъ склоненъ къ предметному счету. Какъ дтямъ, такъ и дикарямъ свойственно начинать счетъ съ пальцевъ. Отъ пальцевъ они переходятъ робкими попытками и съ большой нершительностью къ счету на другихъ предметахъ, обыкновенно на близкихъ имъ и обиходиыхъ, напр., на черточкахъ, зарубкахъ, крестикахъ, костяшкахъ в т. п. Они еще очень далеки въ этомъ случа отъ устнаго счета и отъ письменныхъ вычисленій. Продолжая развивать свою привычку къ наглядному счету, человкъ доходитъ до сложныхъ системъ, которыя онъ проявляетъ въ особенныхъ счетныхъ приборахъ и аппаратахъ. Одни только индусы, у которыхъ наука восходитъ къ такой же сдой древности и къ такимъ же необъятнымъ глубинамъ прошедшихъ вковъ, какъ у египтянъ и китайцевъ, и у которыхъ образованіе начало развиваться за тысячи лтъ до Р. X., — одни они успли освободиться отъ помощи предметовъ во время счета и занялись чисто умственнымъ, преимущественно устнымъ, счетомъ. У остальныхъ же народовъ, какъ образованныхъ, такъ и мало развитыхъ, мы встрчаемъ множество наглядныхъ пособій.

Укажемъ прежде всего на счетъ по пальцамъ и притомъ не на простой способъ постепеннаго загибанія пальцевъ, а на оригинальные пріемы, изобртенные по большей части римлянами.

Римляне были большіе любители всевозможныхъ вычисленій на пальцахъ. Между прочимъ, путемъ разгибанія и загибанія пальцевъ, а также путемъ вытягиванія и складыванія рукъ, они умли выражать числа отъ 1 до милліона. При этомъ 3 пальца лвой руки, начиная съ мизинца, служили у нихъ въ различныхъ комбинаціяхъ для простыхъ единицъ, остальные пальцы лвой руки—для десятковъ, большой и указательный пальцы правой руки для сотенъ, а остальные для тысячъ. Чтобы выразить, напр., простую единицу, они загибали мизинецъ, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й палецъ къ ладони, для 3-хъ—3-й палецъ: число 90, напр., обозначалось указательнымъ пальцемъ, пригнутымъ къ ладони; для обозначенія десятковъ тысячъ они клали лвую руку на грудь, бедро, для сотенъ тысячъ пользовались такимъ же образомъ правой рукой; складываніеі рукъ крестъ-накрестъ соотвтствовало милліону.

Римляне не только могли замчать на пальцахъ большія числа, но они умли производить при помощи пальцевъ нкоторыя дйствія. И сейчасъ еще потомки римлянъ, румыны и южные французы, въ состояніи быстро и искусно продлывать на пальцахъ таблицу умноженія.

Положимъ, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваемъ на одной рук 1 палецъ, т. е. ровно столько, насколько первый множитель больше пяти, а на второй рук протягиваемъ 3 пальца, потому что, согласно такому же разсчету, 8 больше 5-ти на три; количество протянутыхъ пальцевъ складываемъ, и это будетъ число десятковъ—4; количества же пригнутыхъ пальцевъ перемножаемъ: 4x2=8, тогда получимъ единицы произведенія, 4 дес.+8=48.

Еще примръ: 8X9; такъ какъ 8 больше 5-ти на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой рук 3 пальца, а на второй—4, тогда останется согнутыхъ пальцевъ на первой рук 2, на второй—1; теперь мы складываемъ количество протянутыхъ: 3+4=7, и перемножаемъ количества согнутыхъ: 1x2=2, отвтъ 72.

На чемъ же основанъ этотъ остроумный и быстрый пріемъ? Имъ такъ любили пользоваться школьники, особенно среднихъ вковъ. когда имъ не давалась многотрудная таблица умноженія. Основаніе его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для тхъ, кто владетъ алгеброй, мы ее сообщаемъ. Она иметъ видъ тождества: х. у==(х—5+у—5). 10+[5—(х—5)]. [5—(у—5)]. Изъ формулы можно видть, что она примнима только для тхъ случаевъ, когда множители больше 5-ти.

Пальцевымъ счетомъ можно воспользоваться также и при умноженіи двузначныхъ чиселъ, но только такихъ, чтобы они были не выше 20-ти. Чтобы показать это на примр, умножимъ этимъ способомъ 13 на 14; для зтого 3 да 4 складываемъ; будетъ 7, столько десятковъ; эти же числа, т.-е. 3 и 4, перемножаемъ, будетъ 12, столько единицъ; а за то, что множители принадлежатъ ко 2-му десятку, надо къ полученнымъ отвтамъ добавить еще сотню; тогда всего получится: 100+70+12=182—отвтъ совершенно врный. Кто знаетъ алгебру, тотъ безъ труда составитъ формулу для объясненія этого пріема: (10+a). (10+b)=100+ab+10. (a+b).

Покончивши съ вопросомъ о самомъ главномъ, близкомъ и употребительномъ пособіи, о пальцахъ, мы переходимъ къ тому разряду пособій, который нашелъ себ представителя въ русскихъ торговыхъ счетахъ. Русскіе счеты! Какъ они распространены въ народ, среди лавочниковъ, мелкихъ служащихъ, въ конторахъ! Ихъ издавна любитъ русское торговое сословіе. Это дало поводъ думать нкоторымъ, что счеты изобртеніе исключительно русское. Ничуть: приборы, похожіе на счеты, мы встрчаемъ у многихъ народовъ, въ особенности у народовъ древняго міра, напр., у римлянъ, грековъ, китайцевъ, халдеевъ и у всхъ народовъ, которые приходили съ ними въ соприкосновеніе. Да и какъ не быть счетамъ, когда происхожденіе ихъ такъ просто, ясно и всеобще. На счетахъ имются шарики: естественно и удобно для всякаго народа, потому что потребность наглядности есть у всхъ, а что-нибудь лучше шариковъ трудно и придумать, по крайней мр, заостренные, неотшлифованные предметы не такъ удобны для рукъ, какъ круглые; дале, шарики надваются на проволоки, но они могли бы надваться на стержни и шнуры или могли-бы класться въ желобки: цль, очевидно, та, чтобы они не разсыпались; это мы наблюдаемъ также у многихъ народовъ. Наконецъ, этотъ счетный приборъ содержитъ не одинъ рядъ костяшекъ, а нсколько; это уже боле высокая ступень счета, когда народъ иметъ нсколько разрядовъ единицъ, какъ простыхъ, такъ и сложныхъ; проволоки, шнуры и колонны для различныхъ разрядовъ могли бы располагаться какъ горизонтально, такъ и вертикально; у насъ въ русскихъ счетахъ проволоки расположены горизонтально, у римлянъ же колонны для шариковъ располагались вертикальными рядами.

Русскимъ торговымъ счетамъ можно указать иараллель и предшественника въ китайскомъ сванъ — пан. Изобртеніе его относится къ вкамъ глубокой древности, откуда, впрочемъ, восходитъ и вся китайская наука и искусство. Надо полагать, что сванъ-панъ получилъ свое начало не сразу, а преобразовался изъ зачаточнаго, грубаго прибора постепенно, многими поправками и улучшеніями, пока не дошелъ до своего настоящаго вида. Признакомъ его древности служитъ то, что онъ содержитъ въ себ смсь пятеричной системы съ десятичной, слдовательно, онъ изобртенъ тогда, когда народъ еще пользовался пятеричной системой и не перешелъ къ чистой десятичной.

Объяснимъ устройство сванъ-пана. Представьте себ деревянную раму, въ род той, какая имется въ русскихъ торговыхъ счетахъ; поперекъ этой рамы горизонтальными рядами натянуты шнуры, вмсто нашихъ мдныхъ проволокъ. На каждомъ шнур только 7 шариковъ, а не 10. Какъ же управляться съ 7-ю шариками и почему именно 7, а не другое число? А вотъ какъ: вдоль всхъ счетовъ, вертикально сверху внизъ, переская шнуры, идетъ перегородка, сквозь которую шнуры и продъаются. При этомъ по одну сторону перегородки остается шариковъ пятокъ, а по другую пара. Пятокъ назначается для отдльныхъ единицъ и съ нимъ ведется дло такъ же, какъ у насъ съ косточками на торговыхъ счетахъ. Что же касается пары, то назначеніе ея сложне: каждая изъ составляющцхъ ее косточекъ равна по значенію 5 единицамъ соотвтствующаго разряда. Поэтому, какъ только мы наберемъ 5 косточекъ на нижней проволок, то мы этотъ пятокъ должны сбросить и замнить одной изъ тхъ косточекъ, которыя входятъ въ составъ пары. Въ свою очередь, какъ только наберется этихъ пятерныхъ косточекъ дв, такъ он сбрасываются и замняются одной простой косточкой на слдующей высшей проволок. Изъ этого мы видимъ, что на нижней линіи кладутся единицы и пятки, на 2-й десятки и полсотни, на 3-ей сотни и полутысячи и т. д. Всего въ сванъ пан 10 линій, т.-е. шнуровъ. Отдльныхъ линій для долей въ немъ вовсе нтъ, не такъ, какъ въ русскихъ счетахъ. Въ греческомъ и римскомъ мір былъ свой замститель сванъ-пана и русскихъ счетовъ. Онъ назывался абакомъ. Слово «абакъ» происхожденія еврейскаго и значитъ пыль. И это потому, что римляне и греки пользовались досками, на которыхъ былъ насыпанъ мелкій песокъ; на нихъ расчерчивался рядъ вертикальныхъ параллельныхъ линій; между начерченными линіями въ промежуткахъ само сабой являлся рядъ колоннъ или гладкихъ пространствъ, изъ которыхъ крайнее назначено было для простыхъ единицъ, второе (обыкновенно слва) для десятковъ, третье для сотенъ и т. д. Какъ же обозначить на такомъ абак число единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.? Для этого былъ не одинъ способъ, а нсколько, при чемъ въ разныя времена и подъ вліяніемъ тхъ или другихъ математиковъ поперемнно выдвигалея на первый планъ то тотъ способъ, то другой: во-первыхъ, на колонны клали нужное количество костяшекъ или камешковъ, или же на нихъ чертили столько черточекъ, крестиковъ или кружковъ, сколько хотли обозначить единицъ; это самый немудрый, примитивный способъ. Поздне, съ Пиагора (въ VI вк до Р. Хр.) начали пользоваться вторымъ пріемомъ, именно въ колоннахъ на песк стали писать не крестики и черточки, а прямо цифры, и, наконецъ, въ замну этого пріема явился третій: стали употреблять костяшки или «марки», съ награвированными цифрами, такъ что вмсто письма въ колоннахъ на песк начали класть костяшки съ цифрами; кром того, вмсто доски съ насыпаннымъ пескомъ употребляли иногда поверхность гладкую изъ камня, дерева или металла, на ней графили рядъ колоннъ, въ которыя и клали марки. Чисто-римскій абакъ, въ отличіе отъ абака греческаго и отъ позднйшихъ видовъ этого же инструмента, былъ съ такими двумя подробностями. Во-первыхъ, сбоку у него имлись небольшія колонки для долей: половинъ, третей и четвертей или же унцій, т.-е. двнадцатыхъ долей: потребностъ въ вычисленіяхъ съ дробями давала себя чувствовать въ обширной и практически-разносторонней дятельности римлянъ; во-вторыхъ, такъ какъ римляне дольше всхъ народовъ примшивали къ десятичной систем пятеричную, то ихъ абакъ, подобно своему родоначальнику сванъ-пану, былъ примненъ къ счету пятками; надо замтить, что гордый Римъ, весь міръ приведшій подъ свое владычество и давшій образцы устройства государства, былъ не силенъ по части истинной науки и больше занимался вопросами житейской практики; плохіе математики и только свдущіе землемры, римляне не могли представкть себ ясно всхъ преимуществъ точнаго счета десятками безъ всякой примси пятковъ, и лишь ученый представитель позднйшей римской образованности Боэцій, жившій въ VI столтіи по Р. Хр., отбросилъ, наконецъ, добавочныя грани для пятковъ, и у него мы видимъ чистый счетъ десятками. Абакъ Боэція содержитъ въ правой колонн единицы, въ сосдней съ ней десятки, въ слдующей сотни и т. д.; если какой-нибудь разрядъ отсутствуетъ, то та колонна остается незаполненной. Какъ близко отъ такого способа обозначенія до нашего порядка записыванія чиселъ! Стоитъ стереть черты колоннъ и обозначить какъ-нибудь мста пропущенныхъ разрядовъ, вотъ и наша система. Весьма возможно, что въ историческомъ развитіи такъ именно и совершалось дло, т.-е. когда въ данномъ числ какой-нибудь разрядъ отсутствовалъ, и та колонна, слдовательно, являлась незаполненной, то стирали вс колонны, кром нея, ее же выражали въ вид квадрата, незаполненнаго цифрой; отсюда одинъ шагъ къ тому, чтобъ вмсто неудобнаго квадрата ввести кружокъ, который чертится гораздо легче: кружокъ этотъ и есть нашъ нуль. Но все-таки введеніе нуля никоимъ образомъ не можетъ считаться заслугой римлянъ: оно принадлежитъ индусамъ.