Чтение онлайн

[c.133]

где сумма берется по всем разбиениям величин t1, …, tn на различные пары, произведение — по всем парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных произведений величин x(tj, ), то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и, следовательно, их полное статистическое распределение.

До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (tj,), в которых t положительно. Положив

где и имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределение для (t, , ), где t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме

и положить

и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем

Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле

Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса [143] , но это встречает [c.134] препятствие в том, что представляет собой весьма нерегулярную функцию от t. Однако если К приближается достаточно быстро к нулю при t– >± и является достаточно гладкой функцией, то разумно положить

При этих условиях мы формально получим

Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то

а если они одного знака и |s|<|t|, то

[c.135]

Отсюда

В частности,

Более того,

[c.136]

где сумма берется по всем разбиениям величин 1, …, n на пары, а произведение — по парам в каждом разбиении. Выражение

изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого параметра распределения . Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и, следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции

представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом . Таким образом, распределение функции f(t, ) имеет те же статистики, что и функция f(t+t1, ); и действительно, можно доказать, что если

то преобразование параметра в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд f(t, ) находится в статистическом равновесии.

Далее, если мы рассмотрим среднее значение для

то оно состоит в точности из членов выражения

[c.137]

и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения

если последнее стремится к нулю при ->, то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими словами, распределения функций f(t, ) и f(t+, ) становятся асимптотически независимыми, когда ->. Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное распределение функций f(t1, ), …, f(tn, ) и функций f(+s1, ), …, f(+sm, ) стремится к совместному распределению первого и второго множества, когда ->. Другими словами, если F[f (t, )] — любой ограниченный измеримый функционал, т. е. величина, зависящая от всего распределения значений функции f(t, ) от t, то для него должно выполняться условие

Если F[f (t, )] инвариантен при сдвиге по t и принимает только значения 0 или 1, то

т. е. группа преобразований f(t, ) в f(t+, ) метрически транзитивна. Отсюда следует, что если F[f (t, )] — любой интегрируемый функционал от f как функции от t, то по эргодической теореме

[c.138]

для всех значений , исключая множество нулевой меры. Таким образом, мы почти всегда можем определить любой статистический параметр такого временного ряда (и даже любого счетного множества статистических параметров) из прошлой истории одного только параметра. В самом деле, если для такого временного ряда мы знаем

то мы знаем Ф(t) почти во всех случаях и располагаем полным статистическим знанием о временном ряде.

Некоторые величины, зависящие от временного ряда такого рода, обладают интересными свойствами. В частности, интересно знать среднее значение величины

Формально мы можем записать его в виде

Весьма интересная задача — попытаться построить возможно более общий временной ряд из простых рядов броунова движения. При таких построениях, как подсказывает пример рядов Фурье, разложения типа (3.44) составляют удобные строительные блоки. В частности, исследуем временные ряды специального вида: