Чтение онлайн

 

(3.67)

Конечно, здесь К — величина действительная.

Применяя преобразование Фурье, положим

 

. (3.68)

Если известно K(s), то известно k, и обратно. Тогда

 

(3.69)

Таким образом, знание Ф(t) равносильно знанию kk(—). Но поскольку K(s) действительно, то

 

, (3.70)

откуда

. Следовательно, |k|2 есть известная функция, а потому действительная часть log|k| также есть известная функция. [c.144]

Если записать [145]

 

(3.71)

то нахождение функции K(s) эквивалентно нахождению мнимой части log k. Это задача неопределенная, если не наложить дальнейшего ограничения на k. Налагаемое ограничение будет состоять в том, что log k должен быть аналитической функцией и иметь достаточно малую скорость роста относительно в верхней полуплоскости. Для выполнения этого условия предположим, что k и [k]—1 возрастают вдоль действительной оси алгебраически. Тогда [F]2 будет четной и не более, чем логарифмически бесконечной функцией, и будет существовать главное значение Коши [146] для

 

(3.72)

Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно изменяет cos в sin и sin в —cos . Следовательно,

F+iG

есть функция вида

 

(3.73)

и удовлетворяет требуемым условиям для log |k| в нижней полуплоскости.

Если теперь положить

 

, (3.74)

то можно показать, что при весьма общих условиях функция K(s), определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,

 

(3.75)

[c.145]

С другой стороны, можно показать, что 1/k записывается в виде

 

, (3.76)

где значения Nn определены подходящим образом, и что при этом можно получить

 

(3.77)

Здесь значения Qn должны удовлетворять формальному условию

 

(3.78)

В общем случае будем иметь

 

, (3.79)

а если ввести по образцу соотношения (3.68)

 

, (3.80)

то

 

. (3.81)

Следовательно,

 

. (3.82)

Этот вывод мы используем для того, чтобы получить оператор предсказания в форме, связанной не со временем, а с частотой. [c.146]

Таким образом, прошлое и настоящее функции (t, ), или точнее «дифференциала» d(t, ), определяют прошлое и настоящее функции f(t, ), и обратно.

Если теперь А >0, то

 

(3.83)

Здесь первый член последнего выражения зависит от области изменения d(, ), в которой, зная лишь f(, ) для <=t, сказать ничего нельзя, и совершенно не зависит от второго члена. Его среднеквадратическое значение равно

 

, (3.84)

и эта формула дает все статистическое знание о нем. Можно показать, что первый член имеет гауссово распределение с этим среднеквадратическим значением. Последнее равно ошибке наилучшего возможного предсказания функции f(t+A, ).

Само же наилучшее возможное предсказание выражается вторым членом в (3.83):

 

. (3.85)

Если теперь положим

 

(3.86)

[c.147]

и применим оператор (3.85) к eit, получив

 

, (3.87)

то найдем, подобно (3.81), что

 

(3.88)

Это и есть частотная форма наилучшего оператора предсказания.

Задача фильтрации в случае временных рядов типа (3.34) тесно связана с задачей предсказания. Пусть сумма сообщения и шума имеет вид

 

, (3.89)

а сообщение имеет вид

 

, (3.90)

где и распределены независимо в интервале (0, 1). Тогда предсказуемая часть функции m(t+a), очевидно, равна

 

, (3.901)

а среднеквадратическая ошибка предсказания равна

 

. (3.902)

Допустим, кроме того, что нам известны следующие величины:

 

[c.148]

 

 

 

 

 

 

(3.903)

 

 

(3.904)

 

 

 

 

(3.905)

[c.149]

Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно

 

(3.906)

где

 

(3.907)

то есть