Чтение онлайн

Мы продолжаем историческое изложение К. А. Рыбникова. «Однако Эйлер выступил против такой трактовки общего решения, так как, по его мнению, функция, предложенная Д. Бернулли, являлась недостаточно общей. В самом деле, она непрерывная, нечетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла выражать лишь частное решение, в крайнем случае – класс частных решений. Возникший спор привел к задаче: выяснить объем класса функций, представи—мых тригонометрическими рядами.

В 1807 г. (опубликовано в 1822) Фурье в работах по аналитической теории тепла показал, что [.] все эйлеровские связанные кривые, начерченные свободным движением руки, оказались охваченными аналитическим аппаратом тригонометрических рядов» [Рыбников 1974: 207].

Мы продолжаем изложение К. А. Рыбникова (с. 209, 354). В 1822 г. Фурье опубликовал «аналитическую теорию тепла», оказавшую огромное влияние на развитие математики, в дальнейшем математические методы, ведущие свое начало от Фурье, в соединении с соображениями о законах сохранения энергии (С. Карно, 1824; Р. Майер; Г. Гельмгольц; Дж. Джоуль – 1840–е; Р. Клаузиус, 1850; У. Томсон—Кельвин, 1851) привели к формулировке второго начала термодинамики и установлению понятия энтропии.

Однако сейчас для развития нашей темы нам важны не столько общие принципы вроде начал термодинамики, энтропии и т. п., сколько более конкретные исследовательские понятия, в частности, понятие функции. Это понятие очень популярно у современных исследователей разных областей науки. Математик и культуролог А. Н. П а р ш и н исследовал «числа как функции» [Паршин 2002: 7 и сл. ] (культурологам, в частности, будет интересно «рисунчатое, движением руки, изображение» кривой и знака функции).

Необходимые К. А. Рыбникову для его «Истории математики» (с. 354) ссылки на Л. Больцмана и, самое главное, на развитие понятия функции (с. 200, 206 и сл.) оказываются параллельными (как «изотемы») ссылкам автора данной книги для его истории культуры (например, в работе «Язык и метод. К современной философии языка» [Степанов 1998: 332, 495]; в работе «Функции и глубинное» [Степанов 2002] и др.). По этой причине последнюю изотему мы подчеркнем отдельно – в следующем разделе.

9. Изотема 9
Функции и глубинное. Логико—математическое понятие функции & Пропозициональная функция в лингвистике &
Бинарная функция в математике и сложное слово в лингвистике

Логико—математическое понятие функции является в настоящее время, несомненно, центральным по положению в нашей системе рассуждения и содержательно важнейшим для нашей цели. Им вводится целый класс математико—лингвистических аналогий, параллелей и исследовательских ситуаций. Ниже нумеруем их – в порядке возникновения в нашем рассуждении – цифрами от 1 и далее; но эта нумерация все же связана до некоторой степени с иерархией понятий в системе.

Теперь рассмотрим более конкретно группу лингвистических явлений, составляющих параллели, аналоги, аналогии (все эти термины для нас равнозначны) к логико—математическим понятиям, покрываемым общим понятием «Функция» или находящимся в какой—либо существенной связи с ним. Для этого «слева» указываем то или иное необходимое частное понятие функции в математическом смысле или контексте, а «справа» его лингвистический аналог.

Таким образом, нижеследующий текст представляет собой своего рода двуязычный словарь, хотя в типографском отношении входной «левый» термин и «переводной» «правый» могут быть разъединены несколькими строками или даже абзацами.

Лейтмотивом в классе «Функция» является для нас (для лингвиста) идея процесса (вычисления или построения), но, как мы увидим уже в разделе 1, со стороны математики именно ее важность иногда отрицается.

1. Рекурсивные функции и предикаты: процесс и рекурсия. Дж. Литлвуд, рассматривая (резко критически) книгу А. Р. Форсайта «Теория функций комплексного переменного», изданную в 1893 г., но все еще читаемую, цитирует из нее: «Возникновение идеи функциональности вначале было связано с функциями вещественных переменных, и тогда эта идея была равнозначна идее зависимости. Так, если X зависит от значения x и не зависит ни от какой другой изменяющейся величины, то принято X рассматривать как функцию от х; при этом обычно еще

подразумевается, что X выводится из х при помощи ряда операций». Такое изложение, по мнению Литлвуда, навевает «общий кошмар». «В наше время, – продолжает он, – конечно, функция у = у(х) означает, что имеется класс «аргументов» х и что каждому х поставлено в соответствие 1 и только 1 «значение» у. После некоторых тривиальных разъяснений (а может быть, и без них?) мы можем осмелиться сказать, что функция есть просто класс С пар (х, у) (с учетом порядка в скобках), подчиненный (только) тому условию, что х в различных парах должны быть различными (и утверждение «между х и у есть зависимость R» означает просто задание класса, который может быть любым классом упорядоченных пар)» [Литлвуд 1978: 64, 67].

Если термины «изменяющаяся величина», «выводится», «ряд операций» и т. п. вызывают у Дж. Литлвуда «ощущение кошмара», то он упускает и связанную с ними более общую идею «процесса», хотя бы понятия вычислимости. А эта идея и является в настоящее время самой главной.

Изложенное определение в курсах математической логики описывает класс функций, называемых примитивно—рекурсивными функциями: «функция f (t,x), содержащая или не содержащая параметр t, называется примитивно—рекурсивной относительно функций a(t), b(t, x, y), если

(где никакая переменная, встречающаяся в правой части уравнения, не отсутствует в левой части, хотя некоторые переменные и могут отсутствовать в правой части)» [Гудстейн 1961: 73].

Р. Л. Гудстейн обращает внимание на черту аналогии с языком: «Предложение, содержащее свободные переменные, есть арифметический предикат» [Гудстейн 1961: 68].

Для лингвистики прежде всего важны две аналогии, связанные с основными единицами естественного языка: предложением (пропозицией) – пропозициональная функция и словом – слоеная функция.

2. Числовая функция в математике – Пропозициональная в лингвистике (иначе: высказывательная функция). Под последней понимается предложение как форма высказывания, выражающее некоторое суждение; в общей форме, как функция, предложение не завершено: оно содержит в своем составе незаполненные места, могущие быть заполненными словами или словосочетаниями данного языка; последние являются аналогами обозначений аргументов в числовой функции; при подстановке этих словесных переменных в высказывательную функцию она превращается в нормальное высказывание, истинное в том случае, если аргумент соответствует области определения аргументов для данной функции.

3. Числовая функция в математике – Словная функция в лингвистике. Словная функция представляет собой функцию достаточно специального вида (даже для математиков). В математическом смысле эта функция определяет со

бой имя в логико—математическом смысле термина. Мы назовем ее столь же специальным термином слоеная. В данной статье мы рассмотрим только один, еще более специальный ее случай, а именно такой, когда слово является именем существительным или именем прилагательным. Но одновременно это и наиболее типичный случай.

В основе этой функции, как для математики, так и для лингвистики, лежит одна и та же широко известная схема, называемая семантическим треугольником, или треугольником Фреге. (Она была известна уже схоластам XII века, и по справедливости ее нужно было бы называть именем Иоанна Солсберийского (он же Джон из Солсбери), но Фреге дал лучшее исследование ее на конец XIX в.; см. ниже II, 3.) Согласно этой схеме, имя состоит из (1) самого слова или знака слова в его внешней стороне – звучания или написания, (2) предмета обозначения, т. е. предмета, обозначаемого этим словом, – денотата, (3) смысла имени. В математической логике эти три сущности связаны отношениями функции, а именно так, что денотат является функцией смысла имени: