Чтение онлайн

Кривизна поверхности может меняться от точки к точке. Поверхность может быть в одной своей части плоской, а в других обладать положительной или отрицательной кривизной. Чтобы исследовать поверхности переменной кривизны, математики дрессируют своё муравьиное войско так, чтобы муравьи уходили от исходной точки лишь на очень малое расстояние. Тогда у математиков появляется возможность измерять кривизну поверхности в разных её местах.

Этот способ определения кривизны можно распространить на пространства большего числа измерений. Чтобы понять, как это можно сделать, вспомните, что на двумерной поверхности (или в 2-пространстве) муравьи разбежались во всех возможных направлениях от одной исходной точки по данной поверхности. В конце своего путешествия они выстроились по кривой, напоминающей окружность. В трёхмерном пространстве (3-пространстве) муравьи вновь разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях в данном пространстве. В конце своего путешествия они выстроятся по замкнутой поверхности, напоминающей поверхность сферы. Кривизна 3-пространства определяется отклонением площади поверхности получившейся деформированной сферы от величины 4r2– площади поверхности сферы в плоском пространстве. Аналогично в четырёхмерном пространстве (4-пространстве) муравьи разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях. В конце своего путешествия они выстроятся по «поверхности», которую можно назвать гиперсферой. Кривизна такого 4-пространства может быть найдена из сравнения величины трёхмерной «поверхности» гиперсферы с аналогичной величиной для случая плоского 4-пространства.

В XIX в. такие математики, как Бернгард Риман, Эльвин Бруно Кристоффель и Грегорио Риччи, разработали полную теорию искривлённых пространств произвольного числа измерений. Результатом их трудов была новая область математики, именуемая тензорным анализом, который оперирует новыми математическими величинами – тензорами. Математическая величина R– тензор кривизны Римана– содержит всю информацию об искривлённом пространстве соответствующего (произвольного) числа измерений. Из тензора кривизны Римана можно построить другую математическую величину - тензор Риччи R который сохраняет значительную часть той же информации. Именно это искал Эйнштейн!

Представление о тяготении как о силе можно преодолеть, воспользовавшись понятием локального ускорения. Трудность применения частной теории относительности к локально ускоренным ячейкам пространства - маленьким «комнаткам», взятым вместе, - можно преодолеть, если допустить, что пространство-время искривлено. Так мы подходим к удивительной гармонии -появляется мысль, что гравитационное поле любого тела нужно рассматривать как искажение геометрии пространства и времени. Эта идея - основа общей теории относительности.

В порыве вдохновения Эйнштейн понял, что гравитационное поле, окружающее объект, можно описать как кривизну пространства-времени, для которой тензор Риччи равен нулю. Уравнение R = 0 указывает, насколько пространство-время искривлено гравитационным полем тела. Это простое соотношение называют поэтому уравнениями тяготения в пустом пространстве. Решая эти уравнения, можно определить геометрию пространства-времени около Земли или около Солнца. Однако внутри Земли, как и внутри Солнца, пространство уже не пустое. Чтобы описать искривление пространства-времени в присутствии вещества, Эйнштейн вывел другую систему уравнений гравитационного поля. Из тензора Риччи можно непосредственно получить новую величину - тензор Эйнштейна G– В общем случае уравнения Эйнштейна для поля тяготения обычно записываются так: в левой части стоят математические величины (компоненты тензора Эйнштейна G), относящиеся только к геометрии пространства-времени, а в правой - математические величины (компоненты тензора энергии-импульса натяжений T), относящиеся только к физическим свойствам вещества (и полей), которые являются источниками гравитационного поля (рис. 4.20). Записав таким образом уравнения Эйнштейна, мы устанавливаем в сущности эквивалентность геометрии и распределения материи. Фундаментальным содержанием уравнений поля оказывается утверждение: геометрия пространства-времени указывает материи, какие свойства она должна иметь; одновременно материя указывает пространству-времени, как оно должно быть искривлено.

G=8T

РИС. 4.20. Уравнение гравитационного поля в общей теории относительности. Уравнения Эйнштейна выражают тяготение через геометрию пространства-времени. Материя указывает пространству-времени, насколько оно должно быть искривлено, а искривлённое пространство-время указывает материи, как она должна себя в нём вести.

Рассмотрим практическую задачу. Пусть, например, нам надо рассчитать, как движутся около Солнца планеты. Решая уравнения поля для пустого пространства выше поверхности Солнца, мы точно определим, как именно гравитационное поле Солнца искривляет пространство-время. Но что же делать дальше? Знать всё о геометрии пространства и времени (какой она оказывается под влиянием вещества Солнца)-это ещё не всё. Ведь мы пока не знаем, по каким путям могли бы двигаться планеты.

Чтобы выйти из создавшегося положения, Эйнштейн сделал простое предположение: объекты движутся в искривлённом пространстве-времени по наикратчайшим путям. Такие пути именуются геодезическими линиями. Геодезическая - это обобщение понятия прямой линии в плоском пространстве. Она описывается системой уравнений, называемых уравнениями геодезической. Представление о геодезических линиях оказалось весьма плодотворным. По геодезическим мировым линиям движутся свободно падающие тела и лучи света. Поэтому для того, чтобы решить задачу о движении планеты вокруг Солнца (или любую другую аналогичную задачу), нам достаточно проделать следующее:

1. Решить уравнения гравитационного поля. В результате мы найдем, как именно искривлено пространство-время.

2. Исходя из уже известной геометрии пространства-времени, решить уравнения геодезической. Результат покажет, как в данном искривлённом пространстве-времени должны двигаться частицы или световые лучи.

РИС 4.21. Игра в теннис (в пространстве). Траектории теннисного мяча выглядят очень различающимися в пространстве.

На первый взгляд нет ничего более изящного и в то же время удивительного, чем движение частиц по геодезическим. Представим себе двух игроков в теннис. Пусть один из них, отбивая мяч, посланный партнером, направит его «свечой» высоко вверх. Мяч опишет над площадкой дугу восьмиметровой высоты, но в конце концов опустится к другому игроку на противоположном конце своего пути (рис. 4.21). Этот партнер вместо того, чтобы тоже послать мяч свечой, может отбить его прямым ударом на своего партнера, отстоящего от него на 10 м. Тогда мяч поднимется лишь на несколько сантиметров над серединой площадки, пролетев весь свой путь между игроками за очень короткий отрезок времени. Этот второй удар тоже показан на рис. 4.21. Что же произошло? В обоих случаях теннисный мяч пролетел между теми же самыми двумя точками. И в обоих случаях на протяжении всего своего полёта мяч совершал свободное падение. Но взгляните на рис. 4.21! Как непохожи эти два пути! Как же мог Эйнштейн утверждать, что в обоих случаях мяч летел по геодезическим линиям?

В XIX в. Риман заинтересовался возможностью описывать тяготение посредством кривизны пространства. Однако, несмотря на все усилия, этот одаренный математик не добился успеха, так как учитывал только кривизну пространства. Но у Эйнштейна хватило проницательности физика для того, чтобы связать тяготение с геометрией посредством кривизны пространства-времени. Иными словами, «неувязка» в описанной теннисной игре произошла потому, что траектории мяча рассматривались только в пространстве, а не в пространстве-времени. Чтобы разобраться в пространственно-временном ходе игры в теннис, нужно построить трёхмерные пространственно-временные диаграммы. По одной оси мы будем откладывать положение мяча в горизонтальном направлении. Всего по горизонтали мяч пролетает в обоих случаях по 10 м. По другой оси мы будем откладывать высоту мяча над поверхностью площадки. Пущенный свечой мяч поднимается на высоту 8 м, тогда как прямой удар посылает его лишь на несколько сантиметров выше сетки. По третьей оси мы будем откладывать время, которое займут полёты теннисного мяча. Летя свечой, мяч затрачивает на путь между двумя игроками много времени, тогда как на полёт при прямом ударе требуется гораздо более короткий промежуток. Получившийся график приведен на рис. 4.22.

РИС. 4.22. Игра в теннис (в пространстве-времени). Если рассматривать мировые линии теннисного мяча в пространстве-времени, то они кажутся одинаковыми.

Если внимательно разобрать оба случая, то окажется, что в пространстве-времени эти мировые линии по сути дела одинаковы. Обе они близки к дугам окружностей, каждая из которых имеет диаметр около двух световых лет. Хотя траектории теннисного мяча выглядят очень неодинаково в пространстве, эти пути в пространстве-времени выглядят одинаково. Конечно, прямой удар приводит мяч к цели быстрее, чем полёт свечой. Поэтому мировая линия прямого полёта и в пространстве-времени короче, чем мировая линия свечи. Однако обе они - дуги одной и той же окружности. Это одна и та же геодезическая.

Рассмотренная нами игра в теннис иллюстрирует и ещё один важный момент. Десятиметровая дуга окружности диаметром в два световых года - это почти прямая линия. Другими словами, геодезические для предметов, движущихся в гравитационном поле Земли, практически неотличимы от обычных прямых в пространстве-времени. Это означает в свою очередь, что пространство-время около Земли почти идеально плоское. С точки зрения общей теории относительности гравитационное поле Земли следует поэтому считать очень слабым. Поэтому на Земле очень трудно произвести эксперименты (равно как и вообще в Солнечной системе), которые помогли бы обнаружить это очень малое искривление пространства-времени. Проверка правильности общей теории относительности - это очень трудная задача, стоящая перед физиками и астрономами.