Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
cos^2
.
(15.3)
Коэффициенты a b и c определяются по полученным из наблюдений значениям величины I(0,). Вместо выражения (15.2) можно пользоваться формулой:
B
(T)
=
a
+
b
+
c
E
,
(15.4)
дающей более правильные результаты как при – >0, так и при – >. Подставляя (15.4) в (15.1), имеем
I
(0,)
=
a
+
b
cos
+
+
c
1-cos
ln(1+sec
)
.
(15.5)
Формулы (15.2) и (15.4) связывают между собой величины и T, т.е. дают оптические глубины в разных частотах на одном и том же уровне в фотосфере (характеризуемом температурой T). На основании определения оптической глубины мы имеем
=-
d
dr
=-
d
dT
·
dT
dr
.
(15.6)
Следовательно, если известна величина как функция от T, то можно найти и величину как функцию от T (с точностью до постоянного для данного слоя множителя dT/dr). Тем самым находится эмпирическая зависимость от частоты на разных глубинах.
Полученная указанным способом зависимость от была сопоставлена с теоретическим выражением для , обусловленным отрицательным ионом водорода. Такое сопоставление с несомненностью подтвердило правильность принимаемого источника поглощения в фотосфере Солнца.
После определения зависимости температуры T от может быть найдена и зависимость давления p от . Для этого мы должны воспользоваться уравнением гидростатического равновесия (4.42), которое вместе с уравнением (15.6) даёт
dp
d
=
g
.
(15.7)
Для коэффициента поглощения возьмём теоретическое выражение (5.14), представив его в виде =pef(T) (так как n=/mH вследствие слабой ионизации водорода в солнечной фотосфере). Поэтому вместо уравнения (15.7) получаем
dp
d
=
g
pef(T)
.
(15.8)
При заданном химическом составе электронное давление pe может быть выражено через p и T при помощи формулы ионизации. Это позволяет проинтегрировать уравнение (15.8), т.е. найти p в виде функции от . После этого плотность находится из уравнения состояния газа. Для установления связи между оптическими и геометрическими расстояниями в фотосфере можно применить соотношение
r-r
=-
d
,
(15.9)
где r — произвольная постоянная. Так как зависит от p и T, то для выполнения интегрирования в (15.9) надо использовать найденные выражения этих величин через .
Эмпирические модели солнечной фотосферы в общих чертах согласуются с теоретическими моделями, однако между ними имеются и различия. Отчасти эти различия вызваны тем, что в работах по теории фотосфер не вполне точно учитывались некоторые существенные явления (покровный эффект, конвекция и др.).
2. Конвекция и грануляция.
В теории звёздных фотосфер обычно предполагается, что в фотосфере осуществляется лучистое равновесие. Такое предположение мы сделали в гл. I, и на его основе определялась структура фотосферы и рассчитывалось поле излучения в ней. В частности, приведённые в табл. 18 результаты расчёта модели фотосферы Солнца были получены при допущении о лучистом равновесии фотосферы. Однако возникает вопрос о том, будет ли такое состояние фотосферы устойчивым, т.е. будет ли элемент объёма, выведенный каким-либо образом из своего равновесного положения, возвращаться в него под действием существующих в фотосфере сил. Если этого не будет, то в фотосфере возникнут перемещения газовых масс, т.е. конвекция.
Найдём условие наступления конвекции в фотосфере. Для этого допустим, что некоторый элементарный объём испытывает перемещение снизу вверх. Будем считать, что объём при этом перемещении расширяется адиабатически. Тогда температура и плотность в объёме будут изменяться определённым образом (согласно уравнениям адиабаты). Если температура в объёме окажется ниже температуры окружающего газа (а значит, плотность в объёме больше плотности этого газа), то под действием тяготения объём вернётся в исходное положение. Если же температура в объёме окажется выше температуры окружающего газа, то объём будет продолжать подниматься. В последнем случае наступает конвекция.
Таким образом, условие наступления конвекции состоит в том, что адиабатический градиент температуры должен быть меньше градиента температуры при лучистом равновесии, т.е.
dT
dr
ад
<
dT
dr
луч
.
(15.10)
Полученное неравенство можно привести к более удобному виду. Для этого воспользуемся уравнением гидростатического равновесия (4.42) и уравнением состояния идеального газа (4.43). Из указанных уравнений вытекает
dp
dr
=-
gp
R*T
.
(15.11)
Поэтому находим
–
dT
dr
=-
dT
dp
dp
dr
=
gp
R*
d ln T
d ln p
.
(15.12)
Следовательно, вместо (15.10) имеем
d ln T
d ln p
ад
<
d ln T
d ln p
луч
.
(15.13)
Условие наступления конвекции в виде неравенства (15.13) было получено Шварцшильдом ещё в 1905 г.
Посмотрим, выполняется ли неравенство (15.13) в фотосфере. Для этого вычислим в отдельности его левую и правую части.
Как известно, при адиабатическом изменении состояния выполняется соотношение
p
1-
T