Чтение онлайн

Многим из нас знакома риторика такого типа, которую часто можно услышать в отношении научных исследований, якобы утративших связь с «реальностью». Несомненно, во многих случаях эта связь действительно бывает утрачена. Но во многих других случаях это не так, и, что особенно важно, зачастую бывает трудно сразу оценить потенциальный эффект очередной научной работы, кажущейся невразумительной. Все наше основанное на технологических достижениях общество и необычайно высокий уровень жизни, которого повезло достичь многим из нас, во многом основываются на результатах именно таких исследований. В обществе постоянно возникают противоречия между поддержкой фундаментальных исследований, которые кажутся отвлеченными и не обещают немедленных практических выгод, и исследованиями более узкими, сосредоточенными на «практических, реальных» задачах.

К чести Рассела, нужно сказать, что в 1874 г., после того как Фруд произвел революцию в проектировании кораблей, тот пошел на попятную и стал горячим сторонником методов и идей Фруда. При этом, однако, он довольно неубедительно утверждал, что сам независимо пришел к тем же выводам и провел те же опыты много лет назад. Собственно говоря, Рассел был основным партнером Брюнеля в постройке «Грейт Истерн» и действительно пытался работать с моделями, но, к сожалению, не осознавал ни их значения, ни теории, лежавшей в их основе.

Фруд строил уменьшенные модели кораблей от метра до трех длиной, протягивал их через вытянутые бассейны, наполненные водой, и измерял их сопротивление потоку воды и характеристики их устойчивости. Благодаря своему математическому образованию он обладал техническим аппаратом, позволявшим ему масштабировать полученные результаты на случай крупноразмерных судов.

Он выяснил, что основная величина, определяющая характер относительного движения модели, – это параметр, который назвали впоследствии числом Фруда. Он определяется как отношение квадрата скорости судна к произведению его длины на гравитационное ускорение. Такое труднопроизносимое определение может показаться несколько устрашающим, но на самом деле в нем нет ничего сложного: упоминаемое в нем «гравитационное ускорение» одинаково для всех предметов независимо от их размеров, формы и состава. Последнее утверждение попросту повторяет другими словами утверждение Галилея о том, что падающие предметы разной массы достигают земли за одно и то же время. Таким образом, в том, что касается действительно изменяющихся величин, число Фруда просто пропорционально отношению квадрата скорости к длине судна. Это отношение играет ключевую роль во всех задачах, касающихся движения чего бы то ни было, от летящей пули и бегущего динозавра до летящего самолета и плывущего корабля.

Основная суть открытия Фруда состояла в том, что, поскольку основные физические свойства остаются неизменными, объекты разных размеров, движущиеся с разными скоростями, ведут себя одинаково, если соответствующие им числа Фруда имеют одинаковое значение. Таким образом, подобрав длину и скорость модели так, чтобы ее число Фруда было тем же, что и у реального судна, можно изучать динамическое поведение полноразмерного корабля еще до его постройки.

Приведем простую иллюстрацию этого принципа на примере следующей задачи: с какой скоростью должна двигаться трехметровая модель, чтобы отражать движение корабля «Грейт Истерн» длиной 210 м со скоростью 20 узлов (чуть более 37 км/ч)? Чтобы числа Фруда (то есть отношения квадрата скорости к длине) корабля и модели были одинаковыми, скорость должна быть пропорциональна квадратному корню из длины. Отношение квадратных корней из длин этих объектов равна (210 м / 3 м), то есть 70 = 8,4. Тогда скорость трехметровой модели, имитирующей движение «Грейт Истерн», должна быть приблизительно равна 20 / 8,4 = 2,5 узла, то есть около скорости пешехода. Другими словами, динамика модели корабля длиной 3 м, движущейся со скоростью всего 2,5 узла, соответствует поведению корабля «Грейт Истерн» длиной 210 м на скорости 20 узлов.

Я привел упрощенное описание этой методики: на самом деле в задачу обычно входят и другие параметры, аналогичные числу Фруда, которые позволяют прямо учесть другие динамические эффекты, например вязкость воды. Тем не менее этот пример иллюстрирует суть метода Фруда и дает общий шаблон для теории моделирования и масштабирования. Он знаменует переход от примитивного метода проб и ошибок, использования кустарных способов, которые верой и правдой служили нам в течение тысячелетий, к более аналитической, научно обоснованной стратегии решения проблем и конструирования самых разнообразных современных изделий, от компьютеров и кораблей до самолетов, зданий и даже компаний. Бассейны, подобные созданным Фрудом, до сих пор применяются для изучения поведения судов, а разработанные на их основе аэродинамические трубы, оказавшие сильное влияние на братьев Райт, играют аналогичную роль в проектировании самолетов и автомобилей. В центре процесса проектирования находятся теперь замысловатые процедуры компьютерного анализа, в которых для оптимизации работы той или иной конструкции используются принципы все той же теории масштабирования. Выражение «компьютерная модель» прочно вошло в наш словарь. Благодаря им мы сейчас можем «решать» уравнения Навье – Стокса или аналогичные им задачи – или моделировать их решения, – что повышает точность наших предсказаний.

Одно из забавных и непреднамеренных последствий этого прогресса состоит в том, что, например, почти все современные автомобили стали похожи друг на друга, потому что их производители, оптимизируя сходные рабочие параметры, решают одни и те же уравнения. Лет пятьдесят назад, когда такие большие вычислительные мощности еще не были доступны и, следовательно, точность прогнозирования была ниже, а мы меньше заботились об экономии топлива и уровне выброса отработанных газов, конструкции автомобилей были гораздо более разнообразными – и потому гораздо более интересными. Сравнить хотя бы «студебекер-хоук» 1957 г. или «роллс-ройс» 1927 г. с относительно скучной на вид «хондой-сивик» 2006 г. или «теслой» 2014 г., хотя последние машины и обладают гораздо лучшими рабочими характеристиками.

Развитие методики масштабирования, предложенной Фрудом, превратило ее к настоящему времени в мощный и сложный элемент инструментария науки и техники, в высшей степени эффективно используемый для решения широчайшего спектра задач. В общем виде эта методика была формализована лишь в начале ХХ в., когда выдающийся специалист по математической физике лорд Рэлей опубликовал в журнале Nature важную статью под названием «Принцип подобия» (The Principle of Similitude) [43] . Этим термином он обозначал то, что мы называем теорией масштабирования. Главным образом он подчеркивал ту важнейшую роль, которую играют в любой физической системе особые величины, обладающие свойством безразмерности. Речь идет о сочетаниях переменных, подобных числу Фруда, значение которых остается неизменным независимо от используемой системы единиц измерения. Позвольте мне рассказать о них поподробнее.

Большинство величин, которые мы привыкли измерять в повседневной жизни, – например, расстояние, время или давление – зависит от того, в каких единицах их измеряют: например, в метрах, секундах, паскалях и так далее. Однако одну и ту же величину можно измерить в разных единицах: например, расстояние от Нью-Йорка до Лос-Анджелеса равно 3210 милям, но его же можно выразить в виде 5871 км. Эти разные числа выражают одно и то же. Точно так же расстояние от Лондона до Манчестера можно выразить в виде 278 миль или 456 км. Однако отношение расстояний между Нью-Йорком и Лос-Анджелесом и между Лондоном и Манчестером (будь то 3210 миль / 278 миль или 5871 км / 456 км) остается неизменным (и равным 14,89) независимо от того, какие используются единицы измерения.

Это дает нам простейший пример безразмерной величины: это «чистое» число, не изменяющееся, когда для его измерения используется другая система единиц. Такая масштабная инвариантность отражает некое абсолютное качество тех величин, которые представляют такие числа: они не зависят от произвольно выбранных человеком единиц и методов измерения. Конкретные единицы измерения придуманы человеком для удобства выражения мер стандартизованным языком, в особенности когда речь идет о строительстве, торговле и обмене товарами и услугами. Более того, введение стандартизованных мер отмечает важнейший этап развития цивилизации и возникновения городов, так как они были абсолютно необходимы для создания надежной политической системы, подчиняющейся верховенству законов.

Вероятно, самое знаменитое безразмерное число – это число пи , отношение длины окружности к ее диаметру. Оно не имеет размерности, потому что это отношение двух длин, и имеет одно и то же значение для всех окружностей, где бы и когда бы они ни существовали, какими бы большими или малыми они ни были. Поэтому в нем воплощается универсальное качество «круглости».

Именно в связи с концепцией «универсальности» в определение числа Фруда было включено гравитационное ускорение, хотя оно и не играет явной роли в масштабировании модели корабля до его реальных размеров. Оказывается, что отношение квадрата скорости к длине не безразмерно и, следовательно, зависит от используемых единиц измерения. Разделив его на ускорение свободного падения, его можно сделать безразмерным и, таким образом, масштабно-инвариантным.

Но почему было выбрано именно гравитационное, а не какое-нибудь другое ускорение? Потому что гравитация влияет на любое движение повсюду на Земле. Это явно чувствуется, когда мы идем или бежим и вынуждены постоянно бороться с гравитацией, поднимая ногу при каждом следующем шаге, – особенно если дорога идет в гору. Ее влияние на движение кораблей не столь очевидно, поскольку силу тяжести уравновешивает выталкивающая сила воды (вспомним закон Архимеда). Однако, когда судно движется в воде, оно постоянно создает кильватерный след и поверхностные волны, поведение которых определяется воздействием гравитации. Собственно говоря, техническое название знакомых нам волн на поверхности морей и озер – гравитационные волны. Поэтому гравитация играет, хоть и не напрямую, важную роль в движении кораблей. Таким образом, число Фруда олицетворяет «универсальное» качество, присущее любому движению на Земле, независимо от конкретных особенностей объекта, совершающего это движение. Поэтому его значение определяет характеристики движения не только кораблей, но и автомобилей, самолетов и нас самих. Более того, по нему можно определить, как именно движение на других планетах, на которых действует отличная от земной сила тяжести, отличается от аналогичного движения на Земле.