Чтение онлайн

Другие математики XVIII в. также сознавали необходимость отличать ряды, называемые ныне сходящимися, от рядов, которые мы называем расходящимися, хотя и не знали, где именно проходит различие между теми и другими. Трудность была вызвана новизной понятия: подобно первопроходцам, математикам XVIII в. приходилось прорубать себе дорогу через девственный лес. Первоначальная идея Ньютона, принятая Лейбницем, Эйлером и Лагранжем (ряд не более чем «длинный» многочлен и, следовательно, относится к области алгебры), не могла служить основой для обоснования операций, производимых с рядами.

В XVIII в. господствовал формальный подход к бесконечным рядам. Математики того времени отменили все ограничения на операции над рядами, например перестали заботиться о сходимости ряда. Использование рядов давало полезные результаты — и математики довольствовались практическим подтверждением правильности применяемых ими методов. Они далеко вышли за пределы того, что могли бы обосновать, но в целом обращались с расходящимися рядами довольно осторожно.

Хотя арифметика и алгебра были обоснованы ничуть не лучше математического анализа, математики сосредоточили свои усилия на последнем, надеясь изгнать из дифференциального и интегрального исчисления любую неоднозначность. Столь явное предпочтение математическому анализу объяснялось, несомненно, тем, что к началу XVIII в. различные типы чисел стали привычными и казались вполне естественными, в то время как понятия математического анализа по-прежнему оставались странными и даже загадочными, а потому менее приемлемыми. Кроме того, применение чисел не приводило к противоречиям, тогда как применение дифференциального и интегрального исчисления, бесконечных рядов и других разделов математического анализа рождало противоречия.

Ньютоновский подход к анализу потенциально легче поддавался обоснованию, чем подход Лейбница, хотя методология Лейбница отличалась большей гибкостью и была более удобной для приложений. Английские математики все еще надеялись обосновать оба подхода, связав их с евклидовой геометрией. К тому же они путали ньютоновские моменты (приращения неделимых, нынешние дифференциалы) и его непрерывные переменные. Математики, жившие в континентальной Европе, придерживались подхода Лейбница и пытались обосновать введенное им понятие дифференциала (бесконечно малой). Книги, посвященные объяснению и обоснованию подходов Ньютона и Лейбница, слишком многочисленны и противоречивы, чтобы подробно говорить о них. {78}

Пока одни математики предпринимали усилия, чтобы обосновать математический анализ, другие подвергали сомнению его правильность. Самым сильным нападкам математический анализ подвергся со стороны философа епископа Джорджа Беркли (1685-1753), опасавшегося, что вдохновляемая математикой философия механицизма и детерминизма создает растущую угрозу религии. В 1734 г. Беркли опубликовал сочинение под названием «Аналитик, или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику [таковым он называл Эдмонда Галлея], в котором исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с большей очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры» [21]. «Вынь бревно из глаза своего, и ты узришь соринку в глазу брата своего». Беркли с полным основанием сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку те никак не обосновывали и не объясняли своих действий. Беркли подверг критике многие из рассуждений Ньютона, и в частности указал на то, что в «Рассуждении о квадратуре кривых» Ньютон (обозначавший приращение через x,а не h,как это сделали мы) выполнил несколько алгебраических операций, после чего отбросил члены, содержавшие h,мотивируя это тем, будто приращение hтеперь обратилось в нуль. [Ср. равенства (3) и (4) .] Поступая так, продолжал Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли утверждал, что первые флюксии (первые производные), по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного.

Говоря об исчезновении (обращении в нуль) hи k,Беркли заметил: «Предполагая, что приращения исчезают, мы, несомненно, должны предположить, что их пропорции, выражения и все, вытекающее из их существования, исчезает вместе с ними». По поводу предложенного Ньютоном представления о производной как об отношении двух исчезающе малых величин hи k,Беркли высказался так: «Они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин?».

Столь же критически Беркли отнесся и к подходу Лейбница. На введенные Лейбницем понятия он обрушился еще в своей ранней работе «Трактат о принципах человеческого знания» (1710, переработанное издание — 1734) ([21], с. 149-248):

Критику идей Лейбница Беркли продолжил в своем «Аналитике» [«Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» ([21], с. 395-442)]:

Отношение дифференциалов, утверждал Беркли, геометрически должно означать тангенс угла наклона секущей, а не касательной. Эту ошибку математики совершают, пренебрегая высшими дифференциалами. Так, «благодаря двойной ошибке вы приходите хотя и не к науке, но все же к истине», потому что одна ошибка компенсирует другую. Неудовольствие Беркли вызвал и второй дифференциал Лейбница d(dx)— «разность величины dx,которая и сама едва различима».

«Можно ли назвать действия современных математиков, — спрашивал Беркли, имея в виду подход как Ньютона, так и Лейбница, действиями людей науки, если они с гораздо большим рвением стремятся применить свои принципы, нежели понять их?» «Во всякой другой науке, — утверждал Беркли, — люди доказывают правильность заключений, исходя из принятых ими принципов, а не принципы, исходя из заключений».

Беркли завершал свой «Аналитик» целой серией вопросов. Вот некоторые из них:

Многие математики выступили с ответом на критику Беркли, и каждый из них пытался, но безуспешно, обосновать математический анализ. Наиболее значительную попытку предпринял Эйлер. Он полностью отверг геометрию как основу анализа и начал работать с функциями чисто формально, т.е. строить рассуждения, исходя из алгебраического (аналитического) представления функций. Эйлер отверг и предложенное Лейбницем понятие бесконечно малой как величины, которая меньше любого заданного числа, но все же не равна нулю. В своем сочинении «Основы дифференциального исчисления» ( Institutiones calculi differentialis,1755), классическом курсе математического анализа XVIII в., Эйлер привел следующее рассуждение: