Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Такие бесконечно малые, как dx(обозначение Лейбница), равны нулю, следовательно, равны нулю (dx) 2, (dx) 3и т.д., утверждал Эйлер, потому что последние принято считать бесконечно малыми более высокого порядка, чем dx.Производная dy/dx(в обозначениях Лейбница), бывшая для Лейбница отношением бесконечно малых, понимаемых в его смысле, для Эйлера, по существу, обращалась в неопределенность 0/0. Эйлер утверждал, что 0/0 может принимать много значений, так как n•0 = 0при любом числе n,и, разделив равенство на 0, мы получим n = 0/0. Какое именно значение принимает 0/0 для вполне определенной функции, можно установить с помощью обычного метода вычисления производной. Эйлер демонстрирует это на примере функции y = x 2.Придадим переменной xприращение h(Эйлер обозначал приращение ). Пока h,по предположению, не равно нулю. [Ср. сказанное в связи с выражениями (1) — (4) .] Следовательно,
k/h= 2 x+ h.
Там, где Лейбниц считал приращение hбесконечно малым, но не равным нулю, Эйлер положил hравным нулю, после чего отношение k/h,т.е. 0/0, оказалось равным 2x.
Эйлер подчеркивал, что эти дифференциалы (предельные значения kи h) — абсолютные нули и из них нельзя извлечь ничего, кроме их отношения, которое и было вычислено в заключение и оказалось конечной величиной. В третьей главе «Основ анализа» Эйлера есть немало рассуждений такого рода. Стремясь приободрить читателя, Эйлер замечает, что понятие производной не столь уж загадочно, как обычно думают, хотя оно в глазах многих делает дифференциальное исчисление подозрительным. Разумеется, предложенное Эйлером обоснование метода нахождения производной было ничуть не более здравым, чем обоснования, предлагавшиеся Ньютоном и Лейбницем.
Формальный, некорректный подход Эйлера все же явился большим шагом вперед, ибо, избавляя математический анализ от традиционной основы — геометрии, подводил под него базу арифметики и алгебры. Этот шаг впоследствии привел к обоснованию анализа на основе понятия числа.
Наиболее претенциозная из последующих попыток заложить фундамент анализабыла предпринята в XVIII в. Лагранжем. Подобно Беркли и другим своим предшественникам, Лагранж считал, что полученные с помощью анализа правильные результаты объясняются наложением и взаимной компенсацией ошибок. Свою собственную реконструкцию анализа Лагранж изложил в книге под названием «Теория аналитических функций» (1797; 2-е изд. — 1813). {79} Подзаголовок книги гласил: «Содержащая основные теоремы дифференциального исчисления, [доказанные] без использования бесконечно малых, исчезающих величин, пределов и флюксий, и сведенная к искусству алгебраического анализа конечных величин»(курсив М. К.).
79
В этой книге излагался курс, который Лагранж читал студентам знаменитой парижской Политехнической школы; продолжение и дальнейшее развитие идей Лагранжа содержат учебники еще одного профессора Политехнической школы — О. Коши, о которых пойдет речь в следующей главе.
Критикуя Ньютона, Лагранж, в частности, указывал, что, рассматривая предел отношения дуги к хорде, тот считал хорду и дугу равными не до и не после, а в момент исчезновения. В этой связи Лагранж заметил:
Такой метод чрезвычайно неудобен тем, что величины приходится рассматривать в тот самый момент, когда они, так сказать, перестают быть величинами, ибо, хотя мы всегда хорошо представляем отношения двух величин, покуда они остаются конечными, их отношение не дает уму никакого ясного и точного представления, коль скоро обе величины исчезают одновременно.
Лагранж не был удовлетворен ни бесконечно малыми величинами Лейбница, ни абсолютными нулями Эйлера, так как оба этих понятия, «хотя и правильны в действительности, все же недостаточно ясны для того, чтобы служить основанием науки, надежность выводов которой зиждется на ее очевидности».
Лагранж хотел придать математическому анализу всю строгость доказательств древних и стремился достичь желаемого путем сведения математического анализа к алгебре. В частности, Лагранж предложил использовать для строгого обоснования анализа бесконечные ряды, которые в то время было принято относить к алгебре, хотя с их обоснованием дело обстояло хуже, чем с обоснованием математического анализа. Лагранж «скромно» заметил, что его метод почему-то не пришел в голову Ньютону.
Нам нет необходимости вдаваться в подробности обоснования анализа «по Лагранжу». Помимо совершенно неудовлетворительного использования рядов Лагранж производил множество алгебраических преобразований, призванных скорее помешать читателю обнаружить немаловажное обстоятельство: отсутствие строгого определения производной. Все результаты, полученные Лагранжем, были обоснованы столь же плохо, как и результаты его предшественников. Лагранж был убежден, что ему удалось избавиться от понятия предела и построить весь анализ на основе алгебры. Несмотря на все допущенные Лагранжем ошибки, предложенный им вариант обоснования анализа имел несколько выдающихся продолжателей.
Мнение о том, что математический анализ представляет собой лишь продолжение алгебры, было подкреплено фундаментальным трехтомным трудом Сильвестра Франсуа Лакруа (1765-1843), вышедшим в 1797-1800 гг. Лакруа шел по стопам Лагранжа. В меньшей по объему однотомной работе под названием «Элементарный трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» (1802) Лакруа использовал теорию пределов (точнее, то, что понимали под теорией пределов в начале XIX в.) — правда, по словам Лакруа, лишь для того, чтобы сэкономить место.
Некоторые английские математики начала XIX в. решили взять реванш над превосходившими их математиками из континентальной Европы. Чарлз Бэббедж (1792-1871), Джон Гершель (1792-1871) и Джордж Пикок (1791-1858), бывшие тогда выпускниками Кембриджского университета, основали Аналитическое общество и перевели краткий курс математического анализа Лакруа. {80} Однако в предисловии переводчиков говорилось следующее:
Сочинение Лакруа, перевод которого предлагается вниманию публики… может рассматриваться как сокращенный вариант его фундаментального труда по дифференциальному и интегральному исчислению, хотя при доказательстве первых принципов автор пользовался методом пределов Д'Аламбера вместо наиболее правильного и естественного метода Лагранжа, который он применил в более обширном своем сочинении…
80
Деятельность молодых кембриджских математиков (Пикок — Бэббедж — Гершель) имела еще один аспект, не связанный с проблемами обоснования математики, но чрезвычайно важный в тот период для английской науки. Дело в том, что крайне неприятные приоритетные споры об открытии математического анализа, развернувшиеся в XVII в. между Ньютоном и Лейбницем, формально окончилась как будто бы полной победой Ньютона, не потерпевшего в результате их ни малейшего материального или морального ущерба, тогда как Лейбниц из-за этих споров умер буквально в нищете. Однако исторически победителем здесь оказался именно Лейбниц, а научным наследникам Ньютона эти беспредметные дискуссии о первенстве принесли вполне ощутимый вред. Вся континентальная Европа восприняла дифференциальное и интегральное исчисление в том обличье, которое ему придал Лейбниц — с более удобной лейбницевской символикой и терминологией ( производная и интеграл,а не флюксияи флюэнта; исчисление дифференциалов,а не моментов). Существенную роль здесь сыграла отмеченная в книге темпераментная защита Лейбницем своих позиций, а также выдающаяся научная школа Лейбница, возглавляемая братьями Якобом и Иоганном Бернулли. Напротив, в Англии из-за приоритетных соображений на систему обозначений и терминов Лейбница был буквально наложен запрет, что лишало возможности молодых английских ученых следить за достижениями своих континентальных коллег и привело к резкому отставанию английской науки. Даже возрождение английской математики в середине XIX столетия (!), предвестником которого явились названные молодые кембриджцы, было первоначально встречено на континенте с большим недоверием. И деятельность Пикока и его друзей, в частности перевод ими на английский язык «лейбницианского» по форме учебника Лакруа, ставила своей целью приблизить английскую математику к континентальной.
Пикок утверждал, что теория пределов неприемлема, так как она отделяет принципы дифференциального исчисления от алгебры. Гершель и Бэббедж выразили полное согласие с мнением своего коллеги.
Насущная необходимость надлежащего обоснования математического анализа остро ощущалась в конце XVIII в. всем математическим миром, и по предложению Лагранжа отделение математики Берлинской академии наук, директором которой он состоял в 1766-1878 гг., назначила в 1784 г. приз (который должен был быть вручен в 1786 г.) за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:
Своими предложениями, всеобщим уважением и почетным титулом образцовой «точной науки» математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем.
Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью.
Хорошо известно, что современная геометрия [математика] систематически использует бесконечно большие и бесконечно малыевеличины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине бесконечная величина.
Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного, короче говоря, истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа бесконечногои в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными. Предмет должен быть рассмотрен во всей возможной общности и со всей возможной строгостью, ясностью и простотой.
К участию в конкурсе допускались все желающие, за исключением членов Академии, Всего на рассмотрение жюри поступило двадцать три работы. Официальное решение, опубликованное после окончания работы жюри, гласило:
Академия получила много работ на объявленную тему. Авторы всех работ не смогли объяснить, каким образом из противоречивого предположения— о существовании бесконечно большой величины — удалось вывести так много правильных теорем.Все авторы в большей или в меньшей степени пренебрегли требованиями ясности, простоты,а главное — строгости.Большинство из авторов даже не осознали, что принцип, который им надлежало найти, должен был не ограничиваться дифференциальным исчислением, а распространяться также на алгебру и геометрию, рассматриваемые в духе древних.
Учитывая изложенное, Академия считает, что ее требования удовлетворены не полностью.
Тем не менее жюри нашло, что в наибольшей мере удовлетворил требованиям участник конкурса, представивший работу на французском языке под девизом «Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли». Ему и присужден приз.