Чтение онлайн

Разумеется, Расселу было известно, что Пеано вывел свойства вещественных чисел из аксиом для целых чисел. Знал он и о том, что Гильберт предложил систему аксиом для всей системы вещественных чисел. Однако во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел заметил по поводу аналогичного подхода Дедекинда: «Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом». В действительности Рассел был озабочен тем, что постулирование десяти или пятнадцати аксиом о числах отнюдь не гарантирует их непротиворечивость и истинность. По выражению Рассела, постулируя, мы излишне полагаемся на счастливый случай. В то время как Рассел в начале XX в. не сомневался, что принципы логики — истины и поэтому они непротиворечивы, Уайтхед в 1907 г. предостерегал: «Невозможно формально доказать непротиворечивость самих логических посылок».

Многие годы Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Свою позицию Рассел ясно изложил в книге «Проблемы философии» (1912).

Когда дело касалось проблемы истины в математике, Рассел готов был пойти еще дальше, чем Фреге. В юности Рассел был убежден, что математика служит источником истин о реальном мире. Рассел не мог указать, какая из конфликтующих геометрий (евклидова или неевклидова) истинна, — тем более что обе соответствуют реальному миру (гл. IV), — но в «Очерке оснований геометрии» (1898) ему удалось найти несколько математических законов (например, закон, согласно которому физическое пространство должно быть однородно,т.е. должно всюду обладать одинаковыми свойствами), являющихся, по его мнению, истинами. В то же время трехмерность пространства Рассел считал эмпирическим фактом. Тем не менее существует объективный реальный мир, о котором мы можем получать точные знания. Поэтому-то Рассел и пытался найти математические законы, которые вместе с тем должны быть физическими истинами. Эти математические законы должны были следовать из логических принципов.

В «Принципах математики» Рассел обобщил свои взгляды в отношении физической истинности математики. По его словам, «все утверждения относительно всего реально существующего, например пространства, в котором мы живем, относятся к экспериментальной или эмпирической науке, а не к математике; утверждения, относящиеся к прикладной математике, возникают в тех случаях, когда в утверждениях, относящихся к чистой математике, одно или несколько переменных полагают равными некоторым константам…» Даже в этом варианте Рассел продолжал верить, что какие-то основополагающие физические истины содержатся в математике, выводимой из логики, В ответ на замечания скептиков, утверждавших, что абсолютных истин не существует, Рассел заявил: «Математика служит вечным укором подобному скептицизму, ибо ее здание, возведенное из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма».

Идеи, в общих чертах намеченные Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с Алфредом Hopтом Уайтхедом {110} (1861-1947) в трехтомном труде «Основания математики» ( Principia Mathematica[95]*, 1-е изд. — 1910-1913 гг.). Так как именно в этом фундаментальном труде содержался окончательный вариант изложения позиции логистической школы, ознакомимся хотя бы бегло с его содержанием.

Авторы начинают с построения самой логики. Они тщательно формулируют аксиомы логики и выводят из них теоремы, используемые в последующих рассуждениях. Как и подобает любой аксиоматической теории (гл. VIII), построение логики начинается с неопределяемых понятий. Назовем некоторые из них: понятие элементарного высказывания, присвоение элементарному высказыванию значения истинности, отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция двух высказываний, понятие пропозициональной функции.

Рассел и Уайтхед снабдили неопределяемые понятия пояснениями, хотя и подчеркнули, что эти пояснения не входят в логическое построение теории. Под высказыванием и пропозициональной функцией они понимали то же, что и Пирс. Например, «Джон — человек» — высказывание, « x— человек» — пропозициональная функция. Под отрицанием понималось высказывание «Неверно, что …», в котором многоточием обозначено отрицаемое высказывание; так, если pесть высказывание «Джон —человек», то под его отрицанием, обозначаемым символом ~p,понимается высказывание «Неверно, что Джон — человек» или «Джон не человек». Под конъюнкцией двух высказываний pи q,обозначаемой p• q,Рассел и Уайтхед понимали составное высказывание « pи q», а под дизъюнкцией pи q,обозначаемой p\/q, — составное высказывание « pили q». Смысл связки «или» здесь такой же, как в объявлении «Обращаться по телефону 22-22-38 или 22-22-39», означающем, что обращаться можно либо по телефону 22-22-38, либо по телефону 22-22-39, но можно и по тому, и по другому (неисключающее «или»). В предложении «Это лицо — мужчина или женщина» связка «или» имеет иной, более привычный, смысл: либо мужчина, либо женщина, но, разумеется, никак не мужчина и женщина одновременно (исключающее «или»). Математики используют «или» в первом (неисключающем) смысле, хотя иногда «или» употребляется только во втором смысле. {111} Например, в предложении «Треугольник ABC— равнобедренный или четырехугольник PQRS— параллелограмм» связка «или», как правило, неисключающая, а в предложении «Каждое отличное от нуля вещественное число положительно или отрицательно» связка «или» исключающая — ведь имеющиеся у нас дополнительные сведения о положительных и отрицательных числах говорят нам, что одно и то же число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Итак, в «Основаниях математики» высказывание « pили q» означает, что pи qоба истинны, или что pложно, a qистинно, или что pистинно, a qложно.

Наиболее важное отношениемежду высказываниями — отношение следования, или импликация, означающая, что из истинности одного элементарного высказывания вытекает истинность другого. {112} В работе Рассела и Уайтхеда импликация обозначается символом

; при этом под записью (импликацией) p q(« pвлечет q» или «из pследует q») они понимают примерно то же, что Фреге понимал под материальной импликацией (гл. VIII): утверждение « pвлечет q» (из pследует q) означает, что если pистинно, то и qобязано быть истинным, а если pложно, то qможет быть истинно или ложно, т.е. из ложного высказывания следует все что угодно. Такое понятие следования (импликации) высказываний, по крайней мере в некоторых случаях, представляется вполне естественным. Например, если верно, что a— четное число, то и число 2aдолжно быть четным. Но если не верно, что a— четное число, то 2aможет быть как четным, так и нечетным (в случае, если aне целое, скажем дробное, число). Иначе говоря, если высказывание « a— четное число» ложно, то из него может следовать любое заключение.

Разумеется, для того чтобы выводить логические теоремы,необходимо перечислить аксиомылогики. Приведем примеры нескольких таких аксиом:

A)Любое следствие истинного элементарного высказывания {113} является истинным.

B)Если истинно высказывание «истинно pили q», то pистинно.

C)Если qистинно, то « pили q» истинно.

D)Высказывание « pили q» влечет за собой высказывание « qили p».

E)Из « pили ( qили r)», следует « qили ( pили r)».

Сформулировав аксиомы, Рассел и Уайтхед приступили к выводу теорем логики. Обычные правила силлогистики Аристотеля (см., например, [58] и [59]) вошли в систему «Оснований математики» как теоремы.

Чтобы лучше понять, каким образом логика была формализована и сделана дедуктивной, рассмотрим несколько первых теорем из «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда. Одна из теорем утверждает: если из предположения об истинности высказывания pследует, что pложно, то pложно. Это не что иное, как принцип reductio ad absurdum(приведения к абсурду, основа доказательства от противного). Другая теорема гласит: если rследует из q,то при условии, что qследует из p, rследует из p.(Это один из силлогизмов Аристотеля.) Основная теорема начальной части «Оснований математики» — принцип исключенного третьего: если p— любое высказывание, то pлибо истинно, либо ложно.

Построив логику высказываний, авторы приступили к пропозициональным функциям. Последние представляют собой классы, или множества: вместо того чтобы называть элементы класса «поштучно», пропозициональная функция указывает их отличительное свойство. Например, пропозициональная функция « xкрасный» задает множество всех красных предметов. Такой способ задания класса позволяет определять бесконечные множества с такой же легкостью, как и конечные. Определение класса по отличительному признаку называется интенсиональным(или дискретным) в отличие от экстенсиональных (прямых)определений, перечисляющих элементы множества.

Рассел и Уайтхед, разумеется, стремились избежать парадоксов, возникающих в тех случаях, когда определяемое множество содержит само себя в качестве элемента. Эту проблему они разрешили, введя требование: «То, что содержит все элементы множества, не должно быть элементом того же множества». Чтобы удовлетворить этому требованию, Рассел и Уайтхед ввели теорию типов.

Хотя сама теория типов довольно сложна, в основе ее лежит простая идея. Индивидуумы, например Джон или какая-то вполне конкретная книга, имеют тип 0. Любое утверждение о свойстве индивидуума имеет тип 1. Всякое утверждение о свойстве свойства индивидуума имеет тип 2 и т.д. Каждое утверждение принадлежит более высокому типу, чем те, о которых в нем что-то утверждается. На языке теории множеств суть теории типов можно было бы сформулировать так: индивидуальные объекты принадлежат типу 0, множество индивидуальных объектов — типу 1, множество множеств индивидуумов — типу 2 и т.д. Так, если aпринадлежит b,то bдолжно быть более высокого типа, чем a.Кроме того, нельзя говорить о множестве, принадлежащем самому себе. При переходе к пропозициональным функциям теория типов становится несколько сложнее. Ни один из аргументов пропозициональной функции (ни одно из значений входящих в нее переменных) не должен определяться через саму функцию. Если это требование соблюдено, то функция считается принадлежащей к более высокому типу, чем входящие в нее переменные. Рассмотрев на основе теории типов все известные парадоксы, Рассел и Уайтхед показали, что теория типов позволяет их избегать.