Чтение онлайн

Это несомненное достоинство теории типов (то, что она позволяет избегать противоречий) станет более наглядным, если воспользоваться следующим нематематическим примером. Рассмотрим парадокс, связанный с высказыванием «Из всех правил есть исключения» (гл. IX). Это высказывание относится ко всякого рода конкретным правилам, например к правилу «Во всех книгах имеются опечатки». При обычной интерпретации высказывание «Из всех правил есть исключения» применимо и к самому высказыванию, вследствие чего возникает противоречие. Но в теории типов общее правило принадлежит к более высокому типу, и все, что в нем утверждается о конкретных правилах, к нему самому неприменимо. Следовательно, из общего правила исключений может не быть.

Аналогичным образом гетерологический парадокс (слово называется гетерологическим, если оно неприменимо к самому себе) есть не что иное, как определение всех гетерологических слов, и поэтому принадлежит к более высокому типу, чем любое гетерологическое слово. Следовательно, вопрос о том, гетерологично ли само прилагательное «гетерологический», попросту неправомерен.

В рамках теории типов находит свое решение и парадокс лжеца. Рассел излагает это решение следующим образом. Высказывание «Я лгу» означает «Существует утверждение, которое я высказываю, и оно ложно», или «Я высказываю утверждение p,и pложно». Если pпринадлежит к n-му типу, то утверждение относительно pпринадлежит к более высокому типу. Следовательно, если утверждение относительно pистинно, то само pложно, и если утверждение относительно pложно, то pистинно. Никакого противоречия не возникает. Аналогичным образом теория типов разрешает и парадокс Ришара: суть решения сводится к тому, что высказывание более высокого типа содержит некое утверждение о высказывании более низкого типа.

Ясно, что теория типов предполагает тщательную классификацию высказываний по типам. Но если попытаться положить теорию типов в основу строгого обоснования математики, то все построения становятся чрезвычайно сложными. Например, в «Основаниях математики» Рассела и Уайтхеда два предмета aи bсчитаются равными, если любое высказывание или любая пропозициональная функция, применимые к a(или истинные для a), применимы к bи наоборот. Но различные высказывания принадлежат, вообще говоря, к различным типам. Следовательно, понятие равенства становится необычайно сложным. Аналогичные трудности возникают и в связи с понятием числа: так как иррациональные числа определяются через рациональные, а рациональные — через положительные целые числа, то иррациональные числа принадлежат к более высокому типу, чем рациональные, а те в свою очередь — к более высокому типу, чем целые числа. Система вещественных чисел оказывается состоящей из чисел различных типов. Следовательно, вместо того чтобы сформулировать одну теорему для всех вещественных чисел, мы должны формулировать теоремы для каждого типа в отдельности, поскольку теорема, применимая к одному типу, автоматически на другой тип не переносится.

Теория типов вносит осложнение и в понятие наименьшей верхней границы ограниченного множества вещественных чисел (гл. IX). Наименьшая верхняя граница, по определению, есть минимальная из всех верхних границ. Мы видим, что в определении наименьшей верхней границы фигурирует множество вещественных чисел, и поэтому наименьшая верхняя граница должна принадлежать к более высокому типу, чем вещественные числа, а значит, сама она вещественным числом не является.

Чтобы избежать подобных осложнений, Рассел и Уайтхед ввели весьма тонкую аксиому сводимости(или аксиому редукции).Аксиома сводимости для высказываний гласит: любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа. Аксиома сводимости для пропозициональных функций утверждает, что любая функция одного переменного или двух переменных эквивалентна некоторой функции типа 1 от того же числа переменных, к какому бы типу ни принадлежали переменные.Аксиома сводимости была необходима Расселу и Уайтхеду и для обоснования используемой в их «Основаниях математики» математической индукции.

Рассмотрев пропозициональные функции, авторы переходят к теории отношений. Отношения представимы с помощью пропозициональных функций двух или большего числа переменных. Так, пропозициональная функция « xлюбит y» выражает отношение. После теории отношений Рассел и Уайтхед излагают явную теорию классов, или множеств, определяемых с помощью пропозициональных функций. Теперь уже все готово к введению понятия натурального (целого положительного) числа.

Определение натурального числа представляет значительный интерес. Оно зависит от введенного ранее отношения взаимно-однозначного соответствия между классами. Два класса называются эквивалентными,если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Все эквивалентные классы обладают одним общим свойством — числом, отвечающим этим классам (т.е. числом их элементов). Но возможно, что эквивалентные классы обладают и более чем одним общим свойством. Рассел и Уайтхед обошли эту трудность так же, как Фреге, — определив отвечающее классу число как класс всех классов, эквивалентных данному классу.Например, число 3 — это класс всех классов, содержащих по 3 элемента. Все такие классы обозначаются символом {x, у, z},где x/= y/= z.Поскольку определение числа предполагает понятие взаимно-однозначного соответствия (обратите внимание на выражение «однозначное»!), может показаться, что здесь мы попадаем в порочный круг. Но отношение между элементами является взаимно-однозначным, если из того, что xи x'находятся в рассматриваемом отношении к y,следует, что, xи x'совпадают, а из того, что xнаходится в этом отношении и к у,и к у',вытекает, что совпадают yи у'.Следовательно, несмотря на употребленное в названии этого понятия выражение, реально взаимно-однозначное соответствие не определяется без апелляции к числу 1.

Имея натуральные числа, можно построить системы вещественных и комплексных чисел, теорию функций и весь математический анализ. Используя координаты и уравнения кривых, можно через арифметику ввести геометрию. Но для этого Расселу и Уайтхеду понадобились две дополнительные аксиомы. Программа состояла в том, чтобы сначала определить (с помощью пропозициональных функций) натуральные числа, а затем последовательно ввести более сложные рациональные и иррациональные числа. Чтобы включить в эту схему трансфинитные числа, Рассел и Уайтхед ввели аксиому существования бесконечных классов (классов, надлежащим образом определенных с точки зрения логики) и аксиому выбора (гл. IX), необходимую для теории типов.

Такова была грандиозная программа логистической школы. Долго рассказывать о том, что значила эта программа для самой логики, — мы ограничимся здесь лишь беглым перечислением основных пунктов программы. Для математики же (и это необходимо подчеркнуть особо) логистическая программа сводилась к тезису о построении (или возможности построения) всей математической науки на фундаменте логики. Математика становилась не более чем естественным продолжением логических законов и предмета логики.

Логистический подход к математике подвергся резкой критике. Сильные возражения вызвала аксиома сводимости, которая многим математикам казалась совершенно произвольной. Некоторые считали ее счастливой случайностью, а не логической необходимостью. Френк Пламптон Рамсей, сочувственно относившийся к логицизму, так охарактеризовал аксиому сводимости: «Такой аксиоме не место в математике, и все, что не может быть доказано без нее, вообще не должно считаться доказанным». Другие ученые называли аксиому сводимости «жертвоприношением, в котором роль жертвы отведена разуму». Безоговорочно отвергал аксиому сводимости Герман Вейль. Иные критики утверждали, что она снова вводит в обращение непредикативные определения. Наиболее важными были вопросы о том, является ли аксиома сводимости аксиомой логики и, следовательно, подкрепляет ли она тезис о том, что математика выводима из логики.

Пуанкаре заявил в 1909 г., что аксиома сводимости более спорна и менее ясна, чем доказываемый с ее помощью принцип математической индукции. Аксиома сводимости, по его словам, представляет собой замаскированную форму математической индукции. Итак, с одной стороны, математическая индукция — это составная часть математики, а с другой стороны, она оказывается необходимой для обоснования математики. Следовательно, мы не можем доказать непротиворечивость математики.

В первом издании «Оснований математики» (1910) Рассел и Уайтхед обосновывали аксиому сводимости ссылкой на то, что она необходима для доказательства некоторых результатов. Аксиома их явно беспокоила. В защиту ее они приводили следующие доводы:

В последующие годы применение аксиомы сводимости вызывало у Рассела все большую озабоченность. Во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел был вынужден признать: