Мечты об окончательной теории: Физика в поисках самых фундаментальных законов природы
Шрифт:
В начале 1930-х гг. дискуссии в институте Бора привели к созданию ортодоксальной «копенгагенской» формулировки квантовой механики, использовавшей значительно более общие понятия, чем употребляемые в волновой механике отдельных электронов. Независимо от того, состоит ли система из одной или многих частиц, ее состояние в любой момент времени описывается набором чисел – значениями волновой функции, причем каждое число соответствует определенной возможной конфигурации системы. Одно и то же состояние можно описать, перечисляя значения волновой функции для конфигураций, заданных множеством разных способов, например, указанием положений всех частиц в системе, или импульсов всех этих частиц, или многими другими способами. Однако невозможно описать систему, задав одновременно положения и импульсы всех частиц.
Суть копенгагенской интерпретации состоит в резком отделении самой системы от тех приборов, которые используются для измерения ее конфигурации. Как подчеркивал Макс Борн, в промежутках между измерениями значения волновой функции изменяются идеально непрерывным и детерминированным образом, определяемым некоторой обобщенной версией уравнения Шрёдингера. В это время нельзя говорить, что система находится в какой-то определенной конфигурации. Если же мы измеряем конфигурацию системы (т.е. измеряем положения или импульсы всех частиц, но не эти величины одновременно), система скачком переходит в состояние с той или иной конфигурацией, причем вероятности нахождения системы в этих конфигурациях определяются квадратами значений их волновых функций перед измерением [60] .
Б60
Строго говоря, вероятности различных конфигураций определяются суммой квадратов действительной и мнимой частей значений волновой функции.
Попытка рассказывать о квантовой механике одними словами неизбежно создает только самое смутное впечатление о том, что это за наука. Сама по себе квантовая механика совершенно прозрачна; хотя она поначалу и кажется непонятной, но предлагает точную процедуру вычисления энергий, скоростей перехода и вероятностей. Я хочу попытаться вместе с читателем еще немного углубиться в квантовую механику. Для этой цели я буду рассматривать систему простейшего возможного типа, имеющую всего лишь две возможные конфигурации. Можно представить такую систему как мифическую частицу [61] , обладающую не бесконечным числом возможных положений, а всего лишь двумя, скажем положениями здесь и там. Тогда состояние системы в любой момент времени описывается двумя числами, значениями волновой функции, соответствующими здесь и там.
Б61
В реальном мире частицы, естественно, не ограничены только двумя положениями, однако существуют физические системы, которые для практических целей можно рассматривать как имеющие только две конфигурации. Реальный пример такой системы с двумя состояниями – спин электрона. (Спин или момент импульса любой системы есть мера того, насколько быстро она вращается, насколько она массивна и насколько далеко от оси вращения находится масса. Принимается, что спин направлен вдоль оси вращения.) В классической механике спин гироскопа или планеты может иметь любые величину и направление. Напротив, в квантовой механике при измерении величины спина электрона относительно любого направления, например на север (обычно с помощью измерения энергии взаимодействия спина с магнитным полем в данном направлении), мы можем получить только один из двух результатов: электрон вращается вокруг этого направления либо по часовой стрелке, либо против нее, но величина спина всегда одна и та же и равна постоянной Планка, деленной на 4.
Описание нашей мифической частицы в рамках классической физики очень просто: она с определенностью находится либо здесь, либо там, хотя и может перепрыгивать из здесь в там или обратно в результате действия какого-то динамического закона. В квантовой механике дело обстоит сложнее. Когда мы не наблюдаем частицу, то состояние системы может быть чистым здесь, и в этом случае значение там волновой функции должно обратиться в нуль, или чистым там, и тогда значение здесь волновой функции должно обратиться в нуль. Однако возможно (и более типично), что ни одно из значений волновой функции в нуль не обращается и частица не находится с определенностью ни здесь, ни там. Если мы посмотрим, находится ли частица здесь или там, мы конечно найдем ее в одном из этих положений, но вероятность, что она окажется здесь, будет определяться квадратом значения здесь волновой функции перед измерением [62] , а вероятность обнаружения частицы там будет равняться квадрату значения там ее волновой функции. Согласно копенгагенской интерпретации, когда мы измеряем, находится ли частица в конфигурации здесь или там, значения волновой функции скачком меняются; либо значение здесь становится равным единице, а значение там – нулю, либо наоборот. Однако знание волновой функции не позволяет предсказать точно, что произойдет, а позволяет узнать только вероятности этих скачков.
Б62
Сумма этих двух вероятностей должна равняться единице (т.е. 100 %), так что сумма квадратов значений здесь и там должна равняться единице. Отсюда вытекает очень полезная геометрическая картина. Нарисуем прямоугольный треугольник, горизонтальная сторона которого имеет длину, равную величине здесь волновой функции, а вертикальная сторона – длину, равную величине там. (Конечно, под горизонтальным и вертикальным направлениями я подразумеваю любые два взаимно перпендикулярных направления. С тем же успехом можно говорить о направлениях вдоль и поперек.) Не обязательно нужно быть генералом современной армии, чтобы знать один забавный факт о квадрате гипотенузы этого треугольника: она равна сумме квадратов вертикальной и горизонтальной сторон. Но, как мы только что заметили, эта сумма равна единице, поэтому длина гипотенузы тоже равна единице. (Под единицей я подразумеваю не 1 метр или 1 фут, а число 1, так как вероятности не измеряются в квадратных метрах или квадратных футах.) Обратно, если нам дана стрелка единичной длины, имеющая определенное направление в двумерном пространстве (иными словами, двумерный единичный вектор), то ее проекции на горизонтальное и вертикальное направления или на любую другую пару взаимно перпендикулярных направлений задает пару чисел, квадраты которых в сумме равны единице. Таким образом, вместо того, чтобы задавать значения здесь и там, можно представлять состояние стрелкой (гипотенузой нашего треугольника) единичной длины, проекция которой на любое направление представляет значение волновой функции для той конфигурации системы, которая соответствует этому направлению. Такая стрелка называется вектором состояния. Дирак развил довольно абстрактную формулировку квантовой механики на языке векторов состояний, преимущества которой перед формулировкой на языке волновых функций заключаются в том, что можно говорить о векторах состояний без ссылок на конкретные конфигурации системы.
Система всего лишь с двумя конфигурациями так проста, что вид уравнения Шрёдингера для нее можно представить, не используя символы. Между измерениями скорость изменения значения здесь волновой функции равна некоторому постоянному числу, умноженному на значение здесь, плюс некоторое другое постоянное число, умноженное на значение там; скорость изменения значения там равна третьей константе, умноженной на значение здесь, плюс четвертая константа, умноженная на значение там. Эти четыре постоянных числа совместно называются гамильтонианом такой простой системы. Гамильтониан характеризует не какое-то конкретное состояние системы, а саму систему; знание гамильтониана позволяет полностью определить, как изменяется состояние системы при любых начальных условиях. Сама квантовая механика не говорит нам, как выглядит гамильтониан; его конкретный вид должен определяться нашими экспериментальными и теоретическими знаниями о природе обсуждаемой системы [63] .
Б63
Конечно, большинство динамических систем более сложны, чем наша мифическая частица. Например, рассмотрим две такие частицы. Тогда возможны четыре конфигурации, в которых частицы 1 и 2 находятся в состояниях: здесь и здесь, здесь и там, там и здесь, там и там. Таким образом, волновая функция состояния двух частиц принимает четыре значения, и для описания эволюции этого состояния во времени требуется задать шестнадцать постоянных чисел. Заметим, что имеется ровно одна волновая функция, описывающая объединенное состояние двух частиц. Это же верно и в общем случае: нам не нужно иметь отдельные волновые функции для каждого электрона или другой частицы, а лишь одну общую волновую функцию системы, сколько бы частиц она не содержала.
Эта же простая система может быть использована для иллюстрации идеи Бора о дополнительности, если рассмотреть другие способы описания состояния той же частицы. Например, существует пара состояний, напоминающих состояния с определенным импульсом, которые можно условно назвать состояниями стой и иди [64] , и в которых значение волновой функции здесь либо равно значению там, либо равно этому значению, взятому со знаком минус. Мы можем, если хотим, задать волновую функцию ее значениями стой и иди, а не значениями здесь и там: значение стой есть сумма значений здесь и там, а значение иди – разность этих значений. Если нам достоверно известно, что частица находится в состоянии здесь, значение там волновой функции должно обратиться в нуль, так что значения стой и иди совпадают. Это означает, что мы ничего не можем сказать об импульсе частицы; обе возможности реализуются с вероятностью 50 %. Обратно, если мы достоверно знаем, что частица находится в состоянии стой с нулевым импульсом, тогда значение иди волновой функции обращается в нуль, и, поскольку это значение равно разности значений здесь и там, они должны совпадать друг с другом. Отсюда следует, что мы ничего не можем сказать о том, находится ли частица здесь или там; вероятность каждого события равна 50%. Итак, существует полная дополнительность измерений состояний здесь– там и стой– иди: мы можем делать измерения любого типа, но как только выбор сделан, информация о результатах, которые получились бы при измерениях другого типа, полностью теряется.
Б64
Утверждая, что эти состояния имеют определенный импульс, я говорю неточно. При двух возможных положениях состояние иди максимально близко к состоянию ровной волны с горбом здесь и впадиной там, отвечающей частице с ненулевым импульсом, а состояние стой похоже на плоскую волну, длина волны которой много больше, чем расстояние между здесь и там, и соответствует состоянию покоя частицы. Это примитивная версия того, что математики называют фурье-анализом. (Строго говоря, мы должны записать значения стой и иди волновой функции как сумму или разность значений здесь или там, деленных на корень из двух, для того, чтобы удовлетворить упомянутому в предыдущем примечании условию, что сумма квадратов двух значений должна равняться единице.)
Мнения всех о том, как следует применять квантовую механику, согласуются, но в вопросе о том, как следует понимать то, что мы делаем, когда применяем ее, существуют большие разногласия. Тех, кого раздражает редукционизм и детерминизм ньютоновской физики, должны порадовать два аспекта квантовой механики. Во-первых, в ньютоновской физике человеческие существа не имеют особого статуса, а в рамках копенгагенской интерпретации квантовой механики люди играют существенную роль, придавая смысл волновой функции путем акта измерения. Во-вторых, там, где физик-ньютонианец говорит о точных предсказаниях, физик, приверженный квантовой механике, предлагает только вычисления вероятностей, что опять, похоже, дает возможность вспомнить о свободной воле или Божественном провидении.
Некоторые ученые и писатели, например Фритьоф Капра [65] , приветствуют те стороны квантовой механики, которые, как они считают, дают возможность примирить научное познание с более тонкими проблемами нашего существования. Я бы тоже радовался, если бы считал такую возможность реальной, но полагаю, что это не так. Квантовая механика невероятно важна для физики, но я не могу обнаружить в ней каких-то откровений, касающихся жизни человека, принципиально отличающихся от тех, которые нам известны в рамках ньютоновской физики.
Б65
Capra F. The Tao of Physics (Boston: Shambhala, 1991).
Так как эти вопросы все еще вызывают споры, я пригласил для их обсуждения двоих хорошо известных личностей.
Диалог о смысле квантовой механики
Крошка Тим 18) . Я думаю, квантовая механика – замечательная наука. Мне никогда не нравилось, что в ньютоновской механике, зная положение и скорость каждой частицы в данный момент, вы можете полностью предсказать будущее поведение системы, так что при этом не остается места ни для свободной воли, ни вообще для особой роли людей. В квантовой механике все ваши предсказания расплывчаты и вероятностны, ничто не находится в определенном состоянии до тех пор, пока человеческие существа не совершат акт наблюдения. По-моему, что-то похожее говорили некоторые восточные мистики.
А18
См.: Диккенс Ч. Рождественская песнь в прозе / Пер. Т. Озерской // Диккенс Ч. Приключения Оливера Твиста. Повести и рассказы. М: Художественная литература, 1969 (Библиотека всемирной литературы. Серия вторая. Т. 82). – Прим. перев.
Дядюшка Скрудж. Э-э! Я, может быть, и поменял свое мнение насчет Рождества, но чепуху-то я всегда узнаю. Конечно, у электрона нет определенных значений положения и скорости в один и тот же момент времени, но это просто означает, что такие величины не подходят для описания электрона. В каждый момент времени и электрон, и любой коллектив частиц имеют волновую функцию. Если есть человек, наблюдающий частицы, то и состояние всей системы, включая человека, описывается волновой функцией. Эволюция волновой функции так же детерминирована, как и орбиты частиц в ньютоновской механике. На самом деле она еще более детерминирована, так как уравнения, определяющие то, как волновая функция меняется со временем, слишком просты, чтобы обладать хаотическими решениями [66] . Так где же твоя свободная воля?
Б66
Физики иногда используют термин «квантовый хаос», имея в виду квантовые системы, которые бы ли бы хаотическим и в классической физике. Однако сами квантовые системы никогда не могут быть хаотическими.
Крошка Тим. Меня поражает, что вы отвечаете столь ненаучным образом. Волновая функция не представляет объективной реальности, так как ее нельзя измерить. Например, если мы наблюдаем, что частица находится здесь, мы не в силах из этого заключить, что волновая функция до наблюдения имела нулевое значение там; у нее могли быть любые значения здесь и там и нам просто посчастливилось обнаружить частицу здесь, а не там в результате акта наблюдения. Но если волновая функция не реальна, то почему же вы придаете так много значения тому, что она эволюционирует детерминированным образом? Все, что мы когда-либо можем измерить, это величины типа положения, импульса или спина, и для них мы можем получить только вероятностные предсказания. При этом до тех пор, пока какой-нибудь человек не вмешивается с тем, чтобы измерить эти величины, мы вообще не можем сказать, что частица находится в каком-то определенном состоянии.