Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
е = 2,71882818284590452354…
Это бесконечное десятичное число появляется в математике примерно так же часто, как . Логарифмы по основанию е называются «натуральными логарифмами».
По вышеприведенному определению, натуральные логарифмы следовало бы обозначать loge, однако на калькуляторах имеются две отдельные клавиши: log — для десятичных логарифмов, а In — для логарифмов по основанию е.
Таким образом, Гаусс сформулировал следующую гипотезу: при больших х значения (x)/x приближаются к 1/ln x, что можно записать как
(x)/x примерно = 1/ln x (для больших значений х).
Этот результат является оценкой частоты, с которой простые числа встречаются в последовательности натуральных чисел. Предположим, что Р(N) — число простых чисел, меньших N. Формула утверждает, что с ростом N отношение N/P(N) приближается к натуральному логарифму N.
Это самый простой способ применения формулы Гаусса, если мы хотим оценить, сколько существует простых чисел, меньших, чем заданное число. Например, нам задали следующий вопрос: «Сколько простых чисел в первой тысяче натуральных чисел?»
Возьмем калькулятор и выполним следующие действия:
1) наберем число 1000;
2) нажмем клавишу In;
3) нажмем клавишу 1/х;
4) умножим результат на 1000.
Мы получим число 144,76482730108394255037630630554, что позволит нам дать следующий ответ: «В первой тысяче натуральных чисел встречается примерно 145 простых чисел». Это, конечно, лишь приблизительная оценка, так как на самом деле в первой тысяче 168 простых чисел. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что теорема дает все более точный результат при увеличении числа N, и уже с большей уверенностью мы можем сказать, что, например, в первом миллиарде 5,1 % натуральных чисел являются простыми.
Теперь мы можем расшифровать, что именно Гаусс имел в виду, когда оставил заметку в своей записной книжке:
«Простые числа, меньшие
«Простые числа, меньшие а» — то же самое, что и (a);
«lа» в современных терминах записывается как In a
* * *
КОЛОКОЛООБРАЗНАЯ КРИВАЯ ГАУССА
В возрасте 18 лет Гаусс открыл «метод наименьших квадратов», и это вызвало его особый интерес к теории ошибок. Он разработал метод статистического анализа, в котором нормальное распределение ошибок изображается колоколообразной кривой. Это, без сомнения, самая известная кривая в математике, и ее обычно называют «гауссовой кривой нормального распределения». Этот метод принес значительные доходы и самому Гауссу, когда он начал систематическое изучение тенденций международного фондового рынка. Эти данные печатались в зарубежных газетах, которые постоянно имелись в университетских холлах. Колоколообразная кривая очень пригодилась, и доход, который Гаусс имел от этих исследований, значительно превышал его профессорское жалованье.
МНОГОУГОЛЬНИК ГАУССА
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки было одной из нерешенных задач еще со времен греческих геометров. Можно было построить лишь многоугольники с тремя, четырьмя, пятью и пятнадцатью сторонами, а также с их удвоенными количествами. 30 марта 1796 г. Гаусс нашел способ построения многоугольника с 17 сторонами. Этот день стал знаменательным днем его карьеры. Тогда же он начал вести научный дневник, охватывающий период 1796–1814 гг. Эти записи считаются в математике настоящим бриллиантом, потому что содержат все научные открытия Гаусса.
Однако, возможно, наиболее важным является то, что в тот день Гаусс решил посвятить себя математике, а не изучению языков и филологии, где также проявилась его гениальность.
* * *
В настоящее время этот результат известен как «теорема о распределении простых чисел» и является одним из самых важных в истории математики. Хаотическое множество простых чисел, казалось, удалось приручить. Появилась функция для их изучения, которая со временем привела к еще более точным результатам.
Гаусс не дожил до успеха своей теоремы. И это не связано с секретностью, как часто бывало с другими математиками. Не связано это и с подходом Ферма, который не приводил доказательств, ссылаясь на то, что они слишком длинные. У Гаусса хватило бы бумаги для любых доказательств, какими длинными они бы ни были.
Гаусс не дожил до успеха своей теоремы просто потому, что у него не было возможности ее доказать. Благодаря работам Эйлера математика поднялась на новый уровень, где теории формулировались в логической последовательности, оставив в прошлом неопределенные методы и сомнительные практики. Интуиция, являющаяся ключом к любым открытиям, должна была подкрепляться солидной теоретической основой. Доказательство теоремы стало объективным аргументом, который, благодаря простому языку чисел, приобретал статус истины.
Гипотеза Гаусса стала теоремой лишь век спустя: в 1896 г. Жак Адамар (1865–1963) и Шарль Жан Ла Валле Пуссен (1866–1962) одновременно, но независимо друг от друга доказали ее. Из всех теорем в теории простых чисел гипотеза Гаусса занимает особое место с точки зрения истории математики: не только из-за своей красоты, но и из-за огромного влияния, которое она оказала на методы исследований простых чисел.
< image l:href="#"/>Портрет Гаусса изображен на лицевой стороне немецкой банкноты 10 марок на фоне кривой, известной как колоколообразная кривая Гаусса. На обороте банкноты изображен секстант — инструмент, который использовался при создании одной из первых геодезических сетей в мире недалеко от Гамбурга, как показано в нижнем правом углу. Понятие «геодезических», то есть кратчайших линий, соединяющих две точки на поверхности, является ключевым понятием в геометрии и еще одним научным вкладом немецкого гения.
Глава 5
Краеугольные камни
В основе современной теории простых чисел лежат три краеугольных камня: модульная арифметика, комплексные числа и теория аналитических функций. Все они, а особенно последний, требуют существенных математических знаний. Однако некоторые аспекты теории чисел можно легко понять: например, визуализацию функций в четырехмерном пространстве. Это и поможет нам оценить роль дзета-функции Римана в наведении порядка в хаотической последовательности простых чисел.