Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
В истории математики были такие периоды, когда математическая строгость, по сути родившаяся в XVIII в., не имела того значения, которое мы уделяем ей сегодня. В те времена математика была набором инструментов для практических целей, а не теоретической наукой. Таким образом, традиционный подход, проникнутый мистическим символизмом, не препятствовал развитию науки, а наоборот, давал простор воображению.
Таким образом, представление о математике может быть неверным из-за ошибочных представлений о том, как великие математики делали свое дело. Незнание того, как именно работают математики, ведет не только к непониманию природы математических исследований, но и в некоторой степени является причиной непопулярности этой науки. Конечный результат исследований, который обычно принимает форму теоремы, выглядит в переработанном и отшлифованном виде так, что почти всегда оказывается слишком непонятным для людей, не имеющих соответствующей подготовки.
Постороннему человеку трудно увидеть красоту в математических формулировках, которые содержат много технических деталей и чистой логики. Однако сам исследователь шел не по такому ясному и логичному пути, а долго блуждал в кромешной тьме в дремучем лесу чисел в поисках едва различимых тропинок.
* * *
КНИГА ЧИСЕЛ
«Числа» — это четвертая книга Библии и одна из частей Торы, содержащей Пятикнижие Моисея.
На первый взгляд, «Числа» является книгой счетов и, следовательно, представляет несомненную историческую ценность, так как в ней тщательно перечисляются все количества, от вождей племен до голов крупного рогатого скота, то есть книга служит историческим фоном для событий, описанных в других святых книгах. Однако «Числа» — это еще и книга секретных кодов для тех посвященных, кто может их расшифровать, потому что эти числа не только представляют собой количества, но и имеют особый смысл. Например, число 1 символизирует Бога, 2 — человека, 3 — совокупность вещей и так далее. Интересно, что число 5 представляет собой неопределенное количество, «несколько». Например, во время Нагорной проповеди при умножении хлебов Иисус взял пять хлебов, то есть «несколько хлебов». Особенность заключается в том, что число 5 является первым количеством, которое мы не можем определить с одного взгляда. Известно, что если группа содержит меньше пяти объектов, мы определяем их количество, фактически не считая их, а большие количества мы мысленно делим на группы по четыре предмета или меньше и затем складываем результаты.
Тора известна христианам как Пятикнижие и составляет первые пять книг Ветхого Завета.
* * *
Тот факт, что математика исследует самые тайные интеллектуальные ландшафты, беспокоил некоторых хранителей морали. Например, вот что говорил святой Августин: «Добрый христианин должен остерегаться математиков и всех прочих пустых предсказателей. Существует опасность того, что математики заключили договор с дьяволом, чтобы помрачить дух человеческий и увлечь его в ад».
В дополнение к тому, что мы называли информационными центрами и магическими аспектами чисел, есть еще один момент, на который следует обратить внимание при изучении истории теории простых чисел. Это исключительный дар в обращении с числами, которым обладают некоторые люди, — способность, в большинстве случаев сочетающаяся с исключительным даром слова. Многие известные математики, имена которых связаны с теорией простых чисел, также имели необычайные способности к языкам. Само по себе это не удивительно, ведь, как мы говорили в начале книги, цифры и слова связаны между собой как наиболее абстрактные понятия, используемые человеком. В ранние периоды, когда устройств, помогающих в вычислениях, практически не существовало, способность считать в уме являлась существенным преимуществом. Эта способность выходит далеко за рамки простых численных вычислений, ибо такое умение более подходит шоумену, чем математику.
Великие математики, такие как Ферма, Мерсенн, Эйлер и Рамануджан, обладали чудесным даром «видеть» мир чисел. Эта способность позволила им открыть такие связи, которые только они могли заметить. Но доказательство этих соотношений часто оставалось за пределами их возможностей, а иногда за пределами их интересов.
* * *
ЛЮДИ-КАЛЬКУЛЯТОРЫ
Люди-калькуляторы появились в XIX в. Для развлечения толпы они выполняли на сцене арифметические вычисления в уме. Вскоре они стали модными и выступали в европейских и американских театрах, привлекая зрителей своими удивительными способностями. Зера Колберн, один из первых профессиональных калькуляторов, история которого достоверно известна, родился в Каботе, штат Вермонт (США), в 1804 г. Однажды его попросили умножить 21734 на 543. Почти сразу же он дал ответ: 11801562. Когда кто-то из зала спросил его, как он это сделал, он ответил: «Я увидел, что 543 в три раза больше 181. Сначала я умножил 21734 на три, а затем умножил результат на 181». (Обычно ему требовалось всего несколько секунд для умножения пятизначных чисел.) Это произошло в 1812 г., когда Колберну было всего восемь лет.
Глава 3
Новые парадигмы
В середине XVII в. происходил подъем многих областей науки, которая в то время вышла за пределы традиционных учебных заведений. Тогда уже существовали многие европейские университеты, являвшиеся центрами развития научных знаний, но они не спешили переходить к новым способам познания. Это было серьезной проблемой для тех, кто желал заниматься научными исследованиями вне академических структур, потому что только сотрудники учебных заведений могли получать зарплату за свою работу. Наступил период меценатства, когда богатые дворяне и помещики гордились тем, что поддерживают великих мыслителей. Таким образом их имена оказывались связанными с новыми идеями и открытиями.
Большинство биографов того времени упоминали не только имена великих ученых, но и их покровителей. Однако временами возникали проблемы с общением ученых между собой.
Тогда появились специализированные учреждения для обеспечения научных коммуникаций. Одним из них являлась Французская академия наук, основанная в 1666 г. Людовиком XIV по предложению Жан-Батиста Кольбера, возникшая в монашеской келье парижского монастыря. В этой келье жил отец Мерсенн.
Мерсенн родился 8 сентября 1588 г. в Уазе (в наши дни это департамент Сарта). О первых годах его жизни известно немного. Мы знаем, что в 1604 г. он поступил в иезуитский коллеж в Ла-Флеш (основанный в 1603 г. Генрихом IV), где учился в течение года. Там он близко сошелся с другим учеником коллежа, Рене Декартом, дружбу с которым пронес через всю жизнь.
В 1609 г. Мерсенн начал изучать теологию в Сорбонне, а через два года, окончив университет, присоединился к францисканскому ордену «минимов».
В 1612 г. он был рукоположен в священники монастыря Благовещения в Париже. С 1614 по 1618 гг. преподавал философию в Неверском монастыре. Затем Мерсенн вернулся в свою келью, где оставался до самой смерти 1 сентября 1648 г. Желая служить науке до конца, Мерсенн написал в завещании, чтобы его тело передали на медицинский факультет для анатомических исследований.
Первые работы Мерсенна носят чисто богословский характер и включают следующие сочинения: «Рассуждения на Книгу Бытия» (1623), «Истина науки против скептиков и пирроников» (1625), «Теологические, физические, моральные и математические вопросы» (1634). Один из его научных трудов, «Всеобщая гармония» (1636), содержит формулу, связывающую длину струны и высоту звука, который она издает при колебании.
Эта формула позволила ему создать музыкальный строй, где каждая октава делится на математически равные интервалы. Тем самым ученый уничтожил пифагорову комму (разницу между суммами квинт и октав в пифагоровом строе) и заложил основы величайшей революции в истории музыки — хроматического, или равномерно темперированного, строя.
Марен Мерсенн (1588–1648).
* * *
МОНАШЕСКИЙ ОРДЕН «МИНИМОВ»
Само название ордена говорит о том, что его члены обязаны придерживаться строгих аскетических практик. Целью ордена было избегать любых доктрин, которые провозглашают излишне строгие убеждения и правила поведения. И действительно, единственное, что члены ордена категорически не принимали, был атеизм. По сути, они посвящали себя молитве, науке и преподаванию и следили за тем, чтобы их религиозные убеждения не мешали их научной и педагогической деятельности. Доказательством этого является горячая поддержка Мерсенном идей Галилея.
* * *
Величайшей чисто математической работой Мерсенна является трактат «Физико-математические размышления» (1644), в котором появляются знаменитые простые числа, названные его именем. Во введении Мерсенн пишет, что для ряда простых чисел от 2 до 257 число 2Р — 1 тоже является простым, если р имеет одно из следующих значений:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.