Чтение онлайн

С помощью аксиоматики объекты теории не задаются, но лишь определяется форма их рационального постижения, способ анализа опытных данных. Этот способ, в котором выражается внутреннее строение исследуемого свойства, должен оставаться неизменным на протяжении всего исследования, что и является причиной дедуктивного построения математических теорий.

Область внутренних отношений предмета математической теории оказывается доступной только через аксиоматику, которая поэтому играет такую большую роль в математике. «Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении» [145] .

Таким образом, объекты математики должны быть выделены, отвлечены от других объектов в реальности и рассмотрены в чистом виде. Для того чтобы определить количественные свойства вещей в явной, расчлененной, эксплицитной понятийной форме, опытные данные необходимо подвергнуть анализу, изолировать количественные свойства и представить их в чистом виде, расчленить имплицитное и установить внутри него зависимости и отношения, выявить внутренние для данного свойства связи и закономерности, т.е. сделать то, что делается, например, при выявлении аксиом математической теории и ее основных понятий.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное» [146] .

Или: «Безразличие количественных соотношений и пространственных форм объективной реальности по отношению к качественному содержанию представляет собой объективный факт, составляющий фундамент математики. Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории» [147] .

Это отвлечение и составляет условие монистического познания в математике.

Между тем, при отвлечении от качественного содержания реальных объектов их количественная определенность становится совершенно неопределенной, она как бы повисает в воздухе. Для того чтобы математические абстракции приобрели «ясность», «точность» и «богатство связей», которые действительно отличают математику, необходимо установить некоторые внутренние различия для «безразличного», внутренние отношения, которые именно математически сообщили бы количественным понятиям адекватную определенность.

Иными словами, если количественные понятия употребляются для измерения качественных объектов, то сама количественная область может быть «измерена» лишь собственным, внутренним масштабом. Этим единственным путем для математики оказывается путь анализа отношений количеств. Содержание математических абстракций определяется исключительно их отношением к другим таким же количественным абстракциям. Эти закономерные отношения и составляют внутренний, логический нерв математики, организующий количественные объекты во внутренне спаянную систему, во всех своих элементах поддерживающую самое себя.

Задача математики и состоит в том, чтобы изыскать такие средства, выработать такие абстракции, отношения которых внутренним образом описывали бы закономерности количественной области, т.е. установить различия, внутренние для количества как «безразличной» по отношению к содержанию явлений определенности, как гомогенной, чисто количественной предметной области.

В ее задачу, таким образом, не входит чисто рациональное, априорное выведение количеств из внутренней логики «чистого разума» (такое выведение совершенно невозможно), но изыскание средств рационального, логического, понятийного выражения эмпирически данных количественных определений, т.е. выработка системы абстракций, отношение которых позволяет раскрыть внутренние закономерности количественной области. Через эти отношения чистых количеств область количественных понятий приобретает собственный центр, собственный смысл, собственную логику и относительно самодовлеющее значение.

Для того, чтобы рассмотреть абстрагированное свойство само по себе, необходимо выявить его структуру, т.е. расчленить на внутренние для него элементы, отношение которых определит содержание данного свойства. За пределами данного свойства, отношения его элементы не могут иметь самостоятельного значения; значение их определяется содержанием данного свойства, следовательно – их взаимным отношением.

Поэтому абстрагирование составляет лишь первый шаг научного познания. Дальнейшее движение состоит в том, чтобы дать определение абстрактного свойства, отобразить его как внутренне определенный, внутренне конкретный объект. Так, например, если мы имеем сферу как абстрактный геометрический образ шарообразного физического тела, то определить, что такое сфера, взятая сама по себе, мы можем лишь через отношение внутренних для этого абстрактного геометрического образа элементов; таковыми являются радиус сферы, геодезические линии ее поверхности, точки в отношении к геодезическим линиям, т.е. «объекты», внутренне присущие данному абстрактному свойству. Закономерное отношение этих «объектов» даст вполне точное, соответствующее существу дела определение свойства, безразличного к качественной определенности. Понятно отсюда, что элементами или «частями» такого математического объекта не могут быть части физического тела, так как последнее качественно. Поэтому-то арифметика и не обязана давать нам сведения о «населении Соединенных Штатов», а геометрия – о строении физического пространства.

Ту же функцию – служить средством выражения одних математических фактов через их отношение к другим – выполняют и так называемые «идеальные элементы». Этой задаче отвечало, например, введение Куммером в теорию чисел «идеальных чисел» для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебраическим законов разложения на множители; введение в геометрию мнимых величин для установления некоторых общих теорем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых; введение Понселе в его проективной геометрии бесконечно удаленной точки, в которой пересекаются параллельные прямые, в результате чего упрощаются соотношения инцидентности (принадлежности) между точками и прямыми (связь метрической и проективной геометрии) и т.п.

Ставить вопрос о реальности этих элементов вне логической связи в системе понятий – значит игнорировать весь сложный путь образования абстракций, диалектику научно-теоретического познания. «Любая абстракция, отделенная от конкретного основания, – как число отвлекается от конкретных совокупностей предметов, – “сама по себе” не имеет смысла, она живет только в связях с другими понятиями... Вне их она лишается содержания и значения, т.е. просто не существует. Содержание понятия отвлеченного числа лежит в законах, в связях системы чисел» [148] .

Действительно, абстракция – не копия фактического положения вещей, а элемент логической связи, раскрывающей содержание фактически данного свойства. Вне этой связи она лишена смысла.

Постижение рациональной связи количественных определений предполагает монистический, имманентно-математический подход к ним, опирается на установление различий, внутренних для этой количественной, а не качественной области вещей. Поэтому-то математика ничего и не говорит о «вещах» внешнего мира, ибо последние представляют собой качественные единицы.