Чтение онлайн

1. сначала высказывание проверяется для одного элемента множества (для n=1)

2. затем проверяется шаг индукции – если из предпосылки о верности высказывания для одного элемента следует его верность и для другого элемента (если из предпосылки верность для n=k следует верность и для n=k+1)

Если высказывание верно для обоих пунктов, тогда оно верно для всех элементов множества. Если высказывание неверно хотя бы для одного пункта, то оно неверно и для всего множества элементов.

Примеры применения метода полной математической индукции есть в учебниках по математике.

Очень частая логическая ошибка – неполная индукция. Например: "1 января – праздник, 2 января – праздник, 3 января – праздник, значит все дни – праздники". Здесь не доказан шаг индукции. В результате логической ошибки неполной индукции возникают приметы, религии и другие ошибочные взгляды. Например, после 2–3 наблюдений кто-то сделал вывод о наличии некой приметы или предполагаемой закономерности. Но математическая логика запрещает так делать.

В естественных науках – в физике, химии и пр. – шаг полной математической индукции может быть доказан посредством нахождения материальной причинно-следственной связи между явлениями природы. Например, законы сохранения массы, энергии и импульса объясняются через однородность времени и пространства (равноценность всех моментов времени, точек пространства), закон сохранения момента импульса – через изотропность пространства (равноценность всех направлений). Биологическая эволюция объясняется изменчивостью, мутациями, наследственностью и естественным отбором. Второй закон термодинамики имеет статистическое объяснение по Больцману. Закон Хаббла объясняется расширением Вселенной – разбеганием галактик и пр.

Нахождение логического причинно-следственного объяснения той или иной закономерности принципиально важно – это шаг полной математической индукции (глава 1.3). Без него накопленные факты даже в очень большом количестве ещё пока не дают оснований делать вывод о закономерности. Факты дают лишь право на выдвижение гипотезы – предполагаемой закономерности. Гипотеза должна быть проверена, причем не только попыткой подтверждения, но и попыткой опровержения по Попперу.

Если материальная причинно-следственная связь между явлениями природы не доказана, то ни в коем случае нельзя делать индуктивный вывод. Например, в астрологии даже если Вы и найдете несколько случайных совпадений между предсказаниями астрологов и опытом, то отсутствие шага индукции – причинно-следственной связи между движением планет и жизнью людей – доказывает антинаучность астрологии в принципе .

1.6.2. Необходимость и достаточность

Также важно видеть разницу между понятиями необходимо и достаточно . Для подтверждения теории необходимо , чтобы она была основана на фактах, и необходимо , чтобы её маловероятные предсказания подтверждались экспериментальными фактами, и необходимо , чтобы она объясняла взаимосвязь явлений природы материальными причинно-следственными связями, и необходимо , чтобы она соответствовала предыдущему научному знанию (либо в случае более общей теории – чтобы она содержала в себе старые теории в качестве частного случая, например общая теория относительности содержит в себе классическую теорию гравитации Ньютона в качестве частного случая для слабых гравитационных полей).

Но даже всего этого недостаточно для абсолютной истинности теории с точки зрения полной математической индукции. Мы лишь можем сказать, что данная теория работает на данной области применимости. Но мы должны понимать, что наша теория может оказаться ошибочной – возможно, в будущем, мы разработаем лучшую теорию, которая опишет эти же данные лучше, точнее, понятнее.

Однако, с точки зрения математической логики, не только необходимо, но и достаточно найти всего хотя бы одно противоречие теории с экспериментом, либо одно внутренне противоречие в ней, чтобы доказать, что она ошибочна.

Например, нахождение хотя одного неверного астрологического прогноза опровергает всю астрологию на корню. А таких ошибочных прогнозов у астрологов полно.

Серьёзная научная теория должна обладать сильной предсказательной силой. Тем более точны её предсказания, чем меньше вероятность их случайного совпадения с опытом. Поэтому тем сильнее предсказательная сила научной теории и тем больше мы убеждаемся в том, что перед нами – истина.

Напротив, отсутствие у теории предсказательной силы или расплывчатость предсказаний делает ее ненаучной и ненужной.

Рассмотрим пару ярких примеров.

Периодическая таблица Д.И.Менделеева

Создав свою периодическую таблицу в 1869 году, Д.И.Менделеев подробно предсказал физические и химические свойства пока не открытых в то время химических элементов, которые хорошо совпали с опытом – скандий, галлий, технеций и германий.

Например, должен быть элемент с атомным весом около 70, он должен быть легкоплавким, трёхвалетным, его оксид должен иметь формулу Ga2O3 и должен быть амфотерным, т. е. растворяться и в кислотах, и в щелочах. На опыте всё именно так и оказалось – был найден элемент галлий с именно такими свойствами. Он легкоплавкий – температура плавления галлия: 30oC, атомный вес 70.

Квантовая электродинамика (КЭД)

Квантовая электродинамика (КЭД) предсказывает следующее значение аномального магнитного момента электрона [1]:

μtheor = 1,001159652236(28) μ0

где μ0 = e0ħ/2m0c – магнитный момент электрона из теории Дирака (магнетон Бора).

Эксперимент отлично совпадает с теорией [2]:

μexper = 1,0011596521869(41) μ0

с точностью ±4*10-12. Научная теория ценится за такие конкретные и точные предсказания.

А какова предсказательная сила религии и лженауки вроде астрологии или графологии? Нулевая. Сколько раз еще со средних веков в ожидании скорого конца света верующие продавали имущество, не засевали поля и погибали от нищеты и голода!

Список литературы

[1] «Физика микромира», гл. ред. Д. В. Ширков, «Советская энцикло педия», М., 1980

[2] Яворский Б. М. «Справочник по физике для инженеров и студентов вузов», Б. М. Яворский, А. А. Детлаф, А. К. Лебедев, 8-е изд., Москва, Оникс, Мир и образование, 2006

Если вклад некоего явления, реального или предполагаемого, трудно измерить, т. е. если он пренебрежимо мал, то в физике обычно говорят, что данным явлением можно пренебречь в данном опыте.

Например, на отливы и приливы на Земле влияет, в основном, гравитационное поле Луны. Вклад гравитационного поля Солнца уже очень мал, хотя и измерим. Однако в данном эксперименте можно пренебречь гравитационным полем других планет Солнечной системы, звёзд, галактик и смело сказать, что астрология – антинаучная ложь.

Таким образом, в земном эксперименте мы можем пренебречь даже реально существующим наблюдаемым объектом колоссальных размеров, неимоверно превосходящим людей по массе и размерам – например галактикой Андромеды, масса которой в миллиарды раз больше массы Солнца и тем более человека. И разумеется, гравитационное поле галактики Андромеды, достаточно огромно для того, чтобы взаимодействовать с нашей галактикой Млечный Путь. Однако в земном эксперименте по наблюдению за отливами и приливами можно пренебречь гравитационным полем галактики Андромеды.

Аналогичным образом в любом ином земном опыте можно пренебречь существованием бога (даже если бы он и был), ибо ни один прибор не может зарегистрировать вклад предполагаемого бога в жизнь людей – влияние бога пренебрежимо мало. Разумеется, имеется ввиду, что мы работаем с экспериментальными данными, обработанными в согласии с математической статистикой, см. главу 1.5.

Любой ученый, постоянно познавая мир научным методом, сталкивается с фактом познаваемости мира и прекрасно осознаёт ошибочность агностицизма. Для ученых факт познаваемости мира входит в обыденную привычку.